Кинематика движения по окружности

Если материальная точка М движется по окружности (см. рис. 1.3), то ее положение определяют вектором угла d j [1], который образован ее радиус-вектором R с некоторой, произвольно выбранной осью Х.

Рис.1. 3. На рисунке обозначены: V – линейная скорость, dj – угол поворота радиус-вектора точки за время dt, dj – вектор угла поворота, w– угловая скорость

Вектор угла d j можно определить следующим образом:

,

здесь e _Z – единичный вектор оси вращения Z. Заметим, что модуль радиус-вектора материальной точки равен радиусу окружности, по которой она движется: ½ R ½=R.

При решении задач удобно выбрать направление оси Х так, чтобы она проходила через начальное положение движущейся точки. Модуль вектора угла dj численно равен углу поворота радиус-вектора, измеренному в радианах; направление d j определяется по одной из альтернативных (Б.I) формулировок правила буравчика (правого винта).

· Правилобуравчика (Б.I): если расположить ось буравчика вдоль оси вращения и вращать его рукоятки в направлении движения материальной точки (в направлении ее линейной скорости), то направление поступательного движения конца буравчика укажет направление вектора угла d j.

Движениематериальной точки (а также центра масс материального тела) по окружности характеризуется угловой скоростью ω и угловым ускорением e. Как в кинематике поступательного движения, можно ввести понятие средней и мгновенной угловой скорости, углового ускорения.

· Средняяугловаяскорость w _CP равна отношению угла поворота D j радиус-вектора материальной точки ко времени Dt, за которое этот поворот произошел:

,

где e _Z – единичный вектор оси вращения Z.

Средняя угловая скорость w _CP показывает, на какой угол повернулся радиус-вектор материальной точки за единицу времени. Измеряется она в единицах рад/c, чаще, опуская наименование "радиан" используют секунду в минус первой степени (с ^–1).

· Мгновенная у гловаяскорость – это угловая скорость движения материальной точки в данный момент времени, в данной точке траектории.

· Мгновенная у гловаяскорость ω – векторная физическая величина, равная первой производной угла поворота радиус-вектора материальной точки по времени:

Физический смысл мгновенной и средней угловой скорости одинаков – они характеризуют угол, на который повернулся радиус-вектор за единицу времени. Соотношения (1.12) и (1.13) указывают, что векторы угловой скорости параллельны вектору угла поворота d j.

· Векторы средней и мгновенной угловой скорости откладывают на оси вращения, их направление определяется по правилу (Б.I) буравчика (правого винта):

если расположить буравчик вдоль оси вращения и вращать рукоятки в направлении движения материальной точки (в направлении ее линейной скорости), то направление поступательного движения конца буравчика укажет направление вектора угловой скорости.

· Среднееугловоеускорение e (или b)– векторная величина, равная отношению приращения угловой скорости D w к промежутку времени, за который это изменение произошло:

.

Угловое ускорение показывает, на сколько изменилась угловая скорость за единицу времени.

· Мгновенноеугловоеускорение e (или b) – векторная величина, равная первой производной угловой скорости w или второй производной угла j поворота по времени:

Угловое ускорение измеряется в рад/с², или с ^–2. Как следует из (1.12) и (1.13), угловое ускорение откладывают на оси вращения. При условии, что вектор e совпадает по направлению с вектором угловой скорости ω, имеет место ускоренное вращение, если вектор e направлен противоположно вектору ω, то характер вращения – замедленный.

Основными характеристиками вращательного движения являются:

· периодвращения (обращения) Т – время одного полного оборота.

· частота вращенияn (используют также обозначения f, или n) – число полных оборотов в единицу времени.

Период вращения Т измеряется в секундах ([T]=c), частота вращения в с^–1 ([n]=c^-1).

Очевидна связь частоты и периода вращения:

.

Положив в соотношении (1.12) Dj=2p и Dt=T, получим для средней угловой скорости:

..

При равнопеременном вращательном движении угол поворота j, угловая скорость w и угловое ускорение e связаны соотношениями, аналогичными соотношениям, полученным для поступательного движения. Интегрируя соотношения (1.13) и (1.15), приходим к основным уравнениям кинематикивращательного движения:

здесь w ₀ – начальная угловая скорость.

Эти уравнения решают основную задачу кинематики для вращательного движения, если известны начальная угловая скорость w ₀ и угловое ускорение e.

Приведем важное соотношение, определяющее число N оборотов, совершенных телом:

,

где положительный знак пишется при ускоренном вращении, знак минус – при замедленном.

Дата добавления: 2014-01-04