Отсчета

Кинематика движения в неинерциальной системе

Одну из произвольно выбранных инерциальных систем отсчета "К" будем условно считать неподвижной. Движение материальной точки относительно неподвижной системы отсчета называют абсолютным движением. Уравнение второго закона Ньютона, записанное в этой системе отсчета имеет вид:

,

здесь m – масса материальной точки, a _АБС – ее ускорение относительно неподвижной ИСО, F – равнодействующая всех приложенных к материальной точке сил.

Предположим, что система К* (см. рис. 8.1) движется относительно системыК со скоростью V _ПЕР, с ускорением а _ПЕР и вращается с угловой скоростью w относительно оси NN, проходящей через начало координат системы К*. Система К*, очевидно, не является инерциальной. Движение этой системы отсчета относительно неподвижной инерциальной системы отсчета К называют переносным движением, соответствующие физические характеристики движения будем выделять индексами "пер" – "переносные". Соответствующие величины, измеряемые в движущейся системе К*, назовем относительнымии будем отмечать их знаком (*).

Рис. 8.1. Взаимное расположение инерциальной К и неинерциальной К* систем отсчета

Пусть движущаяся материальная точка М имеет в К* координаты X*, Y* и Z* и ее радиус-вектор равен

,

в системе К радиус-вектор точки М есть вектор

.

Обозначим также через R радиус-вектор начала координат подвижной системы К* относительно системы К. Из рисунка 8.1 видно, что радиус-векторы точки М связаны между собой следующим образом:

.

Дифференцируя соотношение (8.2) по времени получим

.

.

В последних соотношениях введены следующие обозначения: V _АБС=d r /dt и а _АБС=d² r /dt² абсолютные скорость и ускорение материальной точки М в неподвижной СО К; V _ОТН=d r */dt и а _ОТН=d² r */dt² –скорость и ускорение точки М относительно подвижной СО К*, первая и вторая производные от R определяют линейные переносные скорость V ¢_ПЕР и ускорение а ¢_ПЕР начала подвижной – неинерциальной системы отсчета "К*" относительно ИСО "К".

Очевидно, что уравнение (8.3) выражает классический закон сложения скоростей, уравнение (8.4) показывает, что абсолютное ускорение а _АБС материальной точки относительно ИСО равно векторной сумме ее относительного а * и переносного а ¢_ПЕР ускорений.

Вычислим относительную скоростьчастицы в системе К*. По определению скорости

Первое слагаемое в полученном соотношении представляет собой относительную скорость частицы в подвижной СО – V *. Второе слагаемое преобразуем с учетом того (см.), что производные векторов постоянной длины (например, ортов i, j, k) вращающихся вместе с системой координат с угловой скоростью w равны

, и .

Можно записать:

Окончательно для относительной скорости V _ОТН имеем:

.

Выражение (8.3) для абсолютной скорости V _АБС принимает вид

.

В формуле (8.5) представляет скорость, которую имела бы в системе К материальная точка, неподвижная в системе К*; эта скорость совпадает с линейной скоростью начала подвижной системы К*. Слагаемое [ w, r *] – линейная переносная скорость точки, вызванная вращением К*. Таким образом, переносная относительно К скорость точки М равна:

,

а абсолютная скорость, соответственно, равна:

.

Заметим, что переносную скорость имела бы неподвижная в системе К* материальная точка за счет поступательного движения начала системы отсчета К* и за счет ее вращения.

Величину абсолютного ускорениянайдем дифференцированием (8.6) по времени.

.

Рассмотрим последовательно слагаемые, входящие в (8.9). Первое слагаемое равно ускорению а ₀ начала подвижной системы отсчета по отношению к неподвижной. Производная d[ w, r *]/dt равна

.

Преобразуем последний член выражения (8.10) с помощью соотношения (8.5):

.

Производная по времени от V *, подобно производной r *, равна

.

Подставляя выражения для производных в (8.9) приходим к выражению:

,

или:

.

В последнем соотношении а _ПЕР – переносное ускорение, определяемое только характером движения начала координат подвижной СО относительно неподвижной:

,

где а ₀ – ускорение поступательного движения начала координат системы К*, d w /dt= e – ее угловое ускорение. Переносное ускорение представляет собой ускорение материальной точки, покоящейся в системе К*. Слагаемое [d w/ dt, r ] – вызвано неравномерным вращением СО, и при w =const обращается в ноль. Относительное ускорение а _ОТН равно производной d V */dt.

Последний член в (8.13) а _КОР – кориолисово ускорение; оно зависит как от относительного, так и переносного движения

.

Укажем, что формула (8.13) представляет математическое выражение теоремы Кориолиса:

· абсолютное ускорение представляет собой векторную сумму относительного, переносного и кориолисова ускорений.

Выражение [ w,[ w, r ]], как было показано ранее, (см. (1.23)), определяет центростремительное ускорение, направленное к оси вращения.

Дата добавления: 2014-01-04