Практическое занятие 2

Задачи

Теория

Практическое занятие 1.

Положение материальной точки в пространстве задается радиусом-вектором г:

где i, j, k — единичные векторы направлений (орты); х, у, z — координаты точки.

Кинематические уравнения движения в координатной форме:

где t — время.

• Средняя скорость

где — перемещение материальной точки за интервал времени .

Средняя путевая * скорость

где — путь, пройденный точкой за интервал времени .

Мгновенная скорость

где — проекции скорости v на оси координат.

Модуль скорости

• Ускорение

где проекции ускорения a на оси

координат.

Модуль ускорения

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих (рис.1.1):

Модули этих ускорений:

где R — радиус кривизны в данной точке траектории.

• Кинематическое уравнение равномерного движения материальной точки вдоль оси х

где — начальная координата; t — время. При равномерном движении

v =const и a=0.

• Кинематическое уравнение равнопеременного движения()вдоль оси x

где v ₀ —начальная скорость; t — время.

Скорость точки при равнопеременном движении

v=v ₀+a t.

Примеры решения задач

Пример 1. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид x=A+Bt+Ct³, где A=4 м, B=2 м/с, С=-0,5 м/с². Для момента времени t ₁=2 с определить:

1) координату x ₁ точки, 2) мгновенную скорость v ₁, 3) мгновенное ускорение a₁.

Решение. 1. Координату точки, для которой известно кинематическое уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения вместо t заданное значение времени t ₁:

x=A+Bt+Ct³.

Подставим в это выражение значения A, В, С, t ₁ и произведем вычисления:

X ₁=(4+4- 0,5 2³) м=4 м.

2. Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдем, продифференцировав координату х по времени:.

Тогда в заданный момент времени t ₁ мгновенная скорость

v ₁=B+3C t ₁² Подставим сюда значения В, С, t ₁ и произведем вычисления:

v ₁ =- 4 м/с.

Знак минус указывает на то, что в момент времени t₁=2 с точка движется в отрицательном направлении координатной оси.

3. Мгновенное ускорение в произвольный момент времени найдем, взяв вторую производную от координаты х по времени:

Мгновенное ускорение в заданный момент времени t ₁ равно a ₁ =6Ct ₁. Подставим значения С, t ₁ и произведем вычисления:

a₁=(—6 0,5 2) м/с=—6 м/с.

Знак минус указывает на то, что направление вектора ускорения совпадает с отрицательным направлением координатной оси, причем в условиях данной задачи это имеет место для любого момента времени.

Пример 2. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид, x=A+Bt+Ct², где A=5 м, B=4 м/с, С=-1 м/с². Построить график зависимости координаты х и пути s от времени. 2. Определить среднюю скорость < v_x > за интервал времени от t ₁=1 с до t ₂=6 с. 3. Найти среднюю путевую скорость < v > за тот же интервал времени.

Решение. 1. Для построения графика зависимости координаты точки от времени найдем характерные значения координаты — начальное и максимальное и моменты времени, соответствующие указанным координатам и координате, равной нулю.

Начальная координата соответствует моменту t =0. Ее значение равно

x₀=x | _{t= 0}=A=5 м.

Максимального значения координата достигает в тот момент, когда точка начинает двигаться обратно (скорость меняет знак). Этот момент времени найдем, приравняв нулю первую производную от координаты повремени:

, откуда t=—B/2C=2 с Максимальная координата

x _max =x / _{t =2} = 9 М.

Момент времени t, когда координата х=0, найдем из выражения x=A+Bt+Ct²=0.

Решим полученное квадратное уравнение относительно t:

Подставим значения А, В, С и произведем вычисления:

t=(2±3) с.

Таким образом, получаем два значения времени: t'-=5 с и =-1 с. Второе значение времени отбрасываем, так как оно не удовлетворяет условию задачи (t>0).

График зависимости координаты точки от времени представляет собой кривую второго порядка. Для его построения необходимо иметь пять точек, так как уравнение кривой второго порядка со­держит пять коэффициентов. Поэтому кроме трех вычисленных ра­нее характерных значений координаты найдем еще два значения координаты, соответствующие моментам t ₁=l с и t ₂ =6 с:

x ₁ = А + Bt ₁ + Ct ₁² = 8 м, x ₂ = А + Bt ₂ + Ct ₂² = -7 м.

Полученные данные представим в виде таблицы:

Время, с Координата, м

t 1=0 x 0=A=5

t 1=1 x 0=8

t B=2 x max=9

=5 x =0

t 2=6 x 2=-7

Используя данные таблицы, чертим график зависимости координаты от времени (рис. 1.2).

График пути построим, исходя из следующих соображений:

1) путь и координата до момента изменения знака скорости совпадают; 2) начиная с момента возврата (t _B) точки она движется в обратном направлении и, следовательно, координата ее убывает, а путь продолжает возрастать по тому же закону, по которому убывает координата.

Следовательно, график пути до момента времени t_B =2 с совпадает с графиком координаты, а начиная с этого момента яв­ляется зеркальным отображением графика координаты.

2. Средняя скорость < v _x> за интервал времени t₂—t₁ определяется выражением

<v_x>=(x₂-x₁)/(t₂—t₁).

Подставим значения x₁, x₂, t₁, t₂. из таблицы и произведем вычисления

< v_x >=(—7—8)/(6—1) м/с=—3 м/с.

3. Среднюю путевую скорость < v> находим из выражения

< v> =s/(t ₂- t₁),

где s — путь, пройденный точкой за интервал времени t₂.—t₁. Из графика на рис. 1.2 видно, что этот путь складывается из двух отрезков пути: S ₁ =x _max— x₁, который точка прошла за интервал времени t_B—t₁, и S₂= x _max+| x ₂|, который она прошла за интервал

Рис. 1.2

T ₂ —t _B. Таким образом, путь

S = S₁ + S₂ = (x _max— x ₂) + (x _max + | x ₂|) == 2 x _max + | x ₂|— x ₁.

Подставим в это выражение значения x _max, | x ₂|, x ₁ и произведем вычисления:

<s>=(2 9+7—8) м=17 м.

Тогда искомая средняя путевая скорость

< v >=17/(6—1) м=3,4 м.

Заметим, что средняя путевая скорость всегда положительна.

Прямолинейное движение

1.1. Две прямые дороги пересекаются под углом =60°. От перекрестка по ним удаляются машины: одна со скоростью v ₁ =60 км/ч, другая со скоростью v ₂= 80 км/ч.

Определить скорости v' и v", с которыми одна машина удаляется от другой. Перекресток машины прошли одновременно.

1.2. Точка двигалась в течение t ₁ = 15 c со скоростью v ₁=5 м/с, в течение t ₂=10 с со скоростью v ₂ =8 м/с и в течение t ₃ =6 с со скоростью v ₃=20 м/с. Определить среднюю путевую скорость < v > точки.

1.3. Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью v ₁=60 км/ч, остальную часть пути — со скоростью v ₂ =80 км/ч. Какова средняя путевая скорость < v > автомобиля?

1.4. Первую половину пути тело двигалось со скоростью v ₁=2 м/с, вторую — со скоростью v ₂=8 м/с. Определить среднюю путевую скорость < v >.

1.5. Тело прошло первую половину пути за время t ₁=2 с, вторую — за время t ₂=8 с. Определить среднюю путевую скорость < v > тела, если длина пути s=20 м.

1.6. -Зависимость скорости от времени для движения некоторого тела представлена на рис. 1.4. Определить среднюю путевую скорость < v > за время t =14

Рис. 1.5

1.7. Зависимость ускорения от времени при некотором движении тела представлена на рис. 1.5. Определить среднюю путевую скорость < v > за время t=8 с. Начальная скорость v ₀=0.

1.8. Уравнение прямолинейного движения имеет вид x=At+Bt², где A=3 м/с, B=—0,25 м/с². Построить графики зависимости координаты и пути от времени для заданного движения.

1.9. На рис. 1.5 дан график зависимости ускорения от времени для некоторого движения тела. Построить графики зависимости скорости и пути от времени для этого движения, если в начальный момент тело покоилось.

1.10. Движение материальной точки задано уравнением x=At+Bt², где A =4 м/с, В=— 0,05 м/с². Определить момент времени, в который скорость v точки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент. Построить графики зависимости координаты, пути, скорости и ускорения этого движения от времени.

1.11. Написать кинематическое уравнение движения x=f(t) точки для четырех случаев, представленных на рис. 1.6. На каждой позиции рисунка — а, б, в, г — изображена координатная ось Ох, указаны начальные положение x ₀ и скорость v₀ материальной точки А, а также ее ускорение а.

1.12. Прожектор О (рис. 1.7) установлен на расстоянии l ==100 м от стены АВ и бросает светлое пятно на эту стену. Прожектор вращается вокруг вертикальной оси, делая один оборот за время Т= 20 с. Найти: 1) уравнение движения светлого пятна по стене в течение первой четверти оборота; 2) скорость v, с которой светлое пятно движется по стене, в момент времени t=2 с. За начало отсчета принять момент, когда направление луча совпадает с ОС.

1.13. Рядом с поездом на одной линии с передними буферами паровоза стоит человек. В тот момент, когда поезд начал двигаться с ускорением а=0,1 м/с², человек начал идти в том же направлении со скоростью v =1,5 м/с. Через какое время t поезд догонит человека? Определить скорость v ₁ поезда в этот момент и путь, пройденный за это время человеком.

1.14. Из одного и того же места начали равноускоренно двигаться в одном направлении две точки, причем вторая начала свое движение через 2 с после первой. Первая точка двигалась с начальной скоростью v ₁==l м/с и ускорением a₁=2 м/с², вторая — с начальной скоростью v ₂=10 м/с и ускорением а₂=1 м/с². Через сколько времени и на каком расстоянии от исходного положения вторая точка догонит первую?

1.15. Движения двух материальных точек выражаются уравнениями:

x ₁ =A ₁ +B ₁t +C ₁ t², x ₂ =A ₂ +B ₂t +C ₂ t²,

где A ₁=20 м, A ₂=2 м, B ₁ =B ₂ =2 м/с, C₁= — 4 м/с², С₂=0,5 м/с².

В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковыми? Определить скорости v ₁ и v ₂ и ускорения a₁ и а₂ точек в этот момент:

1.16. Две материальные точки движутся согласно уравнениям;

x ₁ =A ₁ t+B ₁t² +C ₁ t ³, x ₂ =A ₂ t+B ₂t² +C ₂ t ³,

где A ₁=4 м/c, B ₁=8 м/с², C₁= — 16 м/с3, A ₂=2 м/с, B ₂ = - 4 м/с², С₂=1м/с³

В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости v ₁ и v ₂ точек в этот момент.

1.17. С какой высоты Н упало тело, если последний метр своего пути оно прошло за время t =0,1 с?

1.18. Камень падает с высоты h=1200 м. Какой путь s пройдет камень за последнюю секунду своего падения?

1.19. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью v ₀==20 м/с. По истечении какого времени камень будет находиться на высоте h=15м? Найти скорость v камня на этой высоте. Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g=10 м/с².

1.20. Вертикально вверх с начальной скоростью v ₀=20 м/с брошен камень. Через =1 с после этого брошен вертикально вверх другой камень с такой же скоростью. На какой высоте h встретятся камни?

1.21. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте h=8,6 м два раза с интервалом t=3 с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость брошенного тела.

1.22. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью v ₀=5 м/с. Через t= 2 с мячик упал на землю. Определить высоту балкона над землей и скорость мячика в момент удара о землю.

1.23. Тело брошено с балкона вертикально вверх со скоростью v ₀=10 м/с. Высота балкона над поверхностью земли h=12,5 м. Написать уравнение движения и определить среднюю путевую скорость < v > с момента бросания до момента падения на землю.

1.24. Движение точки по прямой задано уравнением x=At+Bt², где A =2 м/с, В=— 0,5 м/с². Определить среднюю путевую скорость < v> движения точки в интервале времени от t ₁=l с до t ₂=3 с.

1.25. Точка движется по прямой согласно уравнению x=At+Bt³, где A=6 м/с, В == —0,125 м/с³. Определить среднюю путевую скорость < v> точки в интервале времени от t ₁=2 с до t ₂=6 с.

Дата добавления: 2014-01-04