Примеры решения задач по кинематике криволинейного движения

Задачи

Теория

• Положение твердого тела (при заданной оси вращения) определяется углом поворота (или угловым перемещением) .

Кинематическое уравнение вращательного движения

• Средняя угловая скорость

где — изменение угла поворота за интервал времени . Мгновенная угловая скорость *

• Угловое ускорение *

• Кинематическое уравнение равномерного вращения

где —начальное угловое перемещение; t— время. При равномерном вращении =const и =0.

*Угловая скорость и угловое ускорение являются аксиальными векторами, их направления совпадают с осью вращения.

· частотота вращения

n=N/t, или n=1/T,

где N — число оборотов, совершаемых телом за время t; Т — период вращения (время одного полного оборота).

• Кинематическое уравнение равнопеременного вращения (= const.)

где —начальная угловая скорость; t— время.

Угловая скорость тела при равнопеременном вращении

.

• Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки, выражается следующими формулами:

путь, пройденный точкой по дуге окружности радиусом R,

s=R (— угол поворота тела);

скорость точки линейная

ускорение точки:

тангенциальное

нормальное

Пример 1. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны R=50 м. Уравнение * движения автомобиля (t) = A+Bt+Ct², где A=10 м, B=10 м/с, С=—0,5 м/с². Найти: 1) скорость v автомобиля, его тангенциальное , нормальное а _n. и полное а ускорения в момент времени t =5 с; 2) длину пути s и модуль перемещения || автомобиля за интервал времени =10 с, отсчитанный с момента начала движения.

Решение. 1. Зная уравнение движения, найдем скорость, взяв первую производную от координаты по времени:

. Подставим в это выражение значения В, С, t и произведем вычисления:

v =5 м/с.

Тангенциальное ускорение найдем, взяв первую производную от скорости по времени: Подставив значение С, получим = —1 м/с².

Нормальное ускорение определяется по формуле a_n= v ²/R. Подставим сюда найденное значение скорости и заданное значение радиуса кривизны траектории и произведем вычисления:

a_n==0,5 м/с².

Полное ускорение, как это видно из рис. 1.1, является геометрической суммой ускорений а и а _n: а = а + а _n. Модуль ускорения . Подставив в это выражение найденные значения аи а_n получим

а=1,12 м/с².

2. Чтобы определить путь s, пройденный автомобилем, заметим, что в случае движения в одном направлении (как это имеет место в условиях данной задачи) длина пути s равна изменению криволинейной координаты т. е.

s=, или .

Подставим в полученное выражение значения В, С, и произведем вычисления:

s=50 м.

Модуль перемещения, как это видно из рис. 1.3, равен |r|=2Rsin(/2),

где — угол между радиусами-векторами, определяющими начальное (0) и конечное положения автомашины на траектории. Этот угол (в радианах) находим как отношение длины пути s к радиусу кривизны R траектории, т. е. = =s/R. Таким образом,

Подставим сюда значения R, s и произведем вычисления:

|[= 47,9м.

Пример 4. Маховик, вращавшийся с постоянной частотой n₀=10 с¹, при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение маховика снова стало равномерным, но уже с частотой п=6 с¹. Определить угловое ускорение маховика и продолжительность t торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал N==50 оборотов.

Решение. Угловое ускорение маховика связано с начальной и конечной угловыми скоростями соотношением , откуда Но так как то

Подставив значения , п, п ₀, N и вычислив, получим

=3,14(6²-10²)/50 рад/с²=—4,02 рад/с².

Знак минус указывает на то, что маховик вращался замедленно. Определим продолжительность торможения, используя формулу, связывающую угол поворота со средней угловой скоростью < v> вращения и временем t: =<>t. По условиям задачи, угловая скорость линейно зависит от времени и поэтому можно написать, тогда ,

Откуда

Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим

Криволинейное движение

1.26. Материальная точка движется по плоскости согласно уравнению r (t)= i At³+ j Bt². Написать зависимости: 1) v (t); 2) a (t).

1.27. Движение материальной точки задано уравнением r (t)=A (i cos t - j sin t), где A =0,5 м, =5 рад/с. Начертить траекторию точки. Определить модуль скорости | v | и модуль нормального ускорения |a_n |.

1.28. Движение материальной точки задано уравнением r (t) = i (A+Bt ² )+ j Ct, где A==10 м, В= — 5 м/с², С=10 м/с. Начертить траекторию точки. Найти выражения v (t) и a (t). Для момента времени t =1 с вычислить: 1) модуль скорости | v |; 2) модуль ускорения |а|; 3) модуль тангенциального ускорения | а |; 4) модуль нор­мального ускорения | a_n |.

1.29. Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным ускорением a=0,5 м/с². Определить полное ускорение а точки на участке кривой с радиусом кривизны R=3 м, если точка движется на этом участке со скоростью v ==2 м/с.

1.30. Точка движется по окружности радиусом R==4 м. Начальная скорость v ₀ точки равна 3 м/с, тангенциальное ускорение a=1 м/с². Для момента времени t=2 с определить: 1) длину пути s, пройденного точкой; 2) модуль перемещения ||; 3) среднюю путевую скорость ||; 4) модуль вектора средней скорости |< v >|.

1.31. По окружности радиусом.R=5 м равномерно движется материальная точка со скоростью v =5 м/с. Построить графики зависимости длины пути s и модуля перемещения || от времени t. В момент времени, принятый за начальный (t=0), s(0) и |(0)| считать равными нулю.

1.32. За время t=6 с точка прошла путь, равный половине длины окружности радиусом R==0,8 м. Определить среднюю путевую скорость < v > за это время и модуль вектора средней скорости |< v >|.

1.33. Движение точки по окружности радиусом R=4 м задано уравнением * = A+Bt+Ct², где A=10 м, В=—2 м/с, С=1 м/с². Найти тангенциальное а, нормальное a_n и полное а ускорения точки в момент времени t =2с.

1.34. По дуге окружности радиусом R= 10 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки а_n=4,9 м/с²; в этот момент векторы полного и нормального ускорений образуют угол =60°. Найти скорость v и тангенциальное ускорение aточки.

1.35. Точка движется по окружности радиусом R=2 м согласно уравнению * = At³, где A =2 м/с³. В какой момент времени t нормальное ускорение а_n точки будет равно тангенциальному а. Определить полное ускорение а в этот момент.

1.36. Движение точки по кривой задано уравнениями x=A ₁ t³ и y =A₂ t, где A₁==l м/с³, A₂=2 м/с. Найти уравнение траектории точки, ее скорость v и полное ускорение а в момент времени t=0,8 с.

1.37. Точка А движется равномерно со скоростью v по окружности радиусом R. Начальное положение точки и направление движения указаны на рис. 1.8. Написать кинематическое уравнение движения проекции точки A на направление оси х.

1.38. Точка движется равномерно со скоростью v по окружности радиусом R и в момент времени, принятый за начальный (t=0), занимает положение, указанное на рис. 1.8. Написать кинематические уравнения движения точки: 1) в декартовой системе координат, расположив оси так, как это указано на рисунке; 2) в полярной системе координат (ось х считать полярной осью).

1.39. Написать для четырех случаев, представленных на рис. 1.9:

1) кинематические уравнения движения x=f ₁(t) и x=f ₂(t); 2) уравнение траектории у=(х). На каждой позиции рисунка — а, б, в, г — изображены координатные оси, указаны начальное положение точки A, ее начальная скорость v ₀ и ускорение g.

1.40. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении.

Через промежуток времени t =2 с камень упал на землю на расстоянии s=40 м от основания вышки. Определить начальную v ₀ и конечную v скорости камня.

1.41. Тело, брошенное с башни в горизонтальном направлении со скоростью v =20 м/с, упало на землю на расстоянии s (от основания башни), вдвое большем высоты h башни. Найти высоту башни.

1.42. Пистолетная пуля пробила два вертикально закрепленных листа бумаги, расстояние l между которыми равно 30 м. Пробоина во втором листе оказалась на h=10см ниже, чем в первом. Определить скорость v пули, если к первому листу она подлетела, двигаясь горизонтально. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.43. Самолет, летевший на высоте h-=2940 м со скоростью v =360 км/ч, сбросил бомбу. За какое время t до прохождения над целью и на каком расстоянии s от нее должен самолет сбросить бомбу, чтобы попасть в цель? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.44. Тело брошено под некоторым углом к горизонту. Найти этот угол, если горизонтальная дальность s полета тела в четыре раза больше максимальной высоты Н траектории.

1.45. Миномет установлен под углом =60° к горизонту на крыше здания, высота которого h=40 м. Начальная скорость v ₀ мины равна 50 м/с. Требуется: 1) написать кинематические уравнения движения и уравнения траектории и начертить эту траекторию с соблюдением масштаба; 2) определить время полета мины, максимальную высоту Н ее подъема, горизонтальную дальность s полета, скорость v в момент падения мины на землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Указание. Начало координат поместить на поверхности земли так, чтобы оно находилось на одной вертикали с минометом и чтобы вектор скорости v лежал в плоскости хОу.

1.46. Снаряд, выпущенный из орудия под углом =30° к горизонту, дважды был на одной и той же высоте h: спустя время t ₁=10 с и t ₂=50 с после выстрела.

Определить начальную скорость v ₀ и высоту h.

1.47. Пуля пущена с начальной скоростью v ₀=200 м/с под углом =60° к горизонту. Определить максимальную высоту Н подъема, дальность s полета и радиус R кривизны траектории пули в ее наивысшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.48. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении с начальной скоростью v ₀=30 м/с. Определить скорость v, тангенциальное aи нормальное a_n ускорения камня в конце второй секунды после начала движения.

1.49. Тело брошено под углом =30° к горизонту. Найти тангенциальное a; и нормальное а_n ускорения в начальный момент движения.

Рис. 1.8 Рис. 1.9

Вращение тела вокруг неподвижной оси

1.50. Определить линейную скорость v и центростремительное ускорение a_n точек, лежащих на земной поверхности: 1) на экваторе; 2) на широте Москвы (=56°).

1.51. Линейная скорость v ₁ точек на окружности вращающегося диска равна 3 м/с. Точки, расположенные на =10 см ближе к оси, имеют линейную скорость v ₂=2 м/с. Определить частоту вращения п диска.

1.52. Два бумажных диска насажены на общую горизонтальную ось так, что плоскости их параллельны и отстоят на d=30 см друг от друга. Диски вращаются с частотой n==25 с^-1. Пуля, летевшая параллельно оси на расстоянии r=12 см от нее, пробила оба диска. Пробоины в дисках смещены друг относительно друга на расстоя-ние s==5 см, считая по дуге окружности. Найти среднюю путевую скорость < v > пули в промежутке между дисками и оценить создаваемое силой тяжести смещение пробоин в вертикальном направлении. Сопротивление воздуха не учитывать.

1.53. На цилиндр, который может вращаться около горизонтальной оси, намотана нить. К концу нити привязали грузик и предоставили ему возможность опускаться. Двигаясь равноускоренно, грузик за время t=3 с опустился на h= 1,5 м. Определить угловое ускорение цилиндра, если его радиус r=4 см.

1.54. Диск радиусом r = 10 см, находившийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением =0,5 рад/с². Найти тангенциальное a, нормальное а_п и полное а ускорения точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения.

1.55. Диск радиусом r=20 см вращается согласно уравнению =A+B t+Сt³, где A=3 рад, В=—1 рад/с, С=0,1 рад/с³. Определить тангенциальное aнормальное а_n и полное а ускорения точек на окружности диска для момента времени t =10 с.

1.56. Маховик начал вращаться равноускоренно и за промежуток времени t =10 с достиг частоты вращения n=300 мин"¹. Определить угловое ускорение маховика и число N оборотов, которое он сделал за это время.

1.57. Велосипедное колесо вращается с частотой п=5 с¹. Под действием сил трения оно остановилось через интервал времени t =1 мин. Определить угловое ускорение и число N оборотов, которое сделает колесо за это время.

1.58. Колесо автомашины вращается равноускоренно. Сделав N=50 полных оборотов, оно изменило частоту вращения от n₁=4 с¹ до n₂==6 с¹. Определить угловое ускорение колеса.

1.59. Диск вращается с угловым ускорением =—2 рад/с². Сколько оборотов N сделает диск при изменении частоты вращения от n₁=240 мин ^-1 до n₂=90 мин ^-1? Найти время t, в течение которого это произойдет.

1.60. Винт аэросаней вращается с частотой n=360 мин¹. Скорость v поступательного движения аэросаней равна 54 км/ч. С какой скоростью u движется один из концов винта, если радиус R винта равен 1 м?

1.61. На токарном станке протачивается вал диаметром d= 60 мм. Продольная подача h резца равна 0,5 мм за один оборот. Какова скорость v резания, если за интервал времени t =1 мин протачивается участок вала длиной l =12 см?

Пример 1.1. Снаряд вылетел под углом a = 30⁰ к горизонту со скоростью V₀ = 200 м/с. Определить скорость снаряда, а также его нормальное и тангенциальное ускорения через t = 3 с после начала движения. На какое расстояние S переместится за это время снаряд по горизонтали, на какой высоте он окажется?

Решение

L=?, H=? аН=?, аt=?_________ V0=200 м/c, a=30°, g=9,8 м/с^2

Выберем двухмерную систему координат X,Y и совместим ее начало с положением снаряда перед выстрелом. Изобразим траекторию движения снаряда кривой ОВ и предположим, что снаряд через три секунды полета находится в точке В. Так как движение снаряда происходит с постоянным ускорением g, сообщаемым силой тяжести, и начальная скорость снаряда V ₀ не равна нулю, то законы кинематики должны быть записаны так:

, (1)

В проекциях на оси координат уравнения (1) имеют вид:

Величины V₀cos α; и V₀sin α равны проекциям начальной скорости на оси Х и Y, соответственно. Из ортогональности проекций V_x и V_y следует:

(2)

Из чертежа видно, что проекции вектора перемещения S на оси координат равны горизонтальному L и вертикальному H перемещению снаряда: S_X=L и S_Y=H, поэтому

(3)

(4)

Разлагая ускорение снаряда g в точке В на направления касательной и нормали к траектории, отметим его нормальную а _Н и тангенциальную а _τ составляющие. Из чертежа видно, что

а_н = g sinβ, α_τ = g cosβ, (5)

β – угол между вертикалью и нормалью к траектории в точке В. В параллелограммах скоростей и ускорений имеются равные углы b (как углы с перпендикулярными сторонами).

Тригонометрические функции угла β можно найти из разложения скорости снаряда в точке В:

,

.

Подставляя в соотношения (5) выражения для тригонометрических функций имеем окончательно:

,

.

Перемещение снаряда по горизонтали и его высоту находим по формулам (3) и (4):

, , L.

С помощью соотношения (2) найдем величину скорости снаряда после трех секунд полета:

V=188 (м/c)

Замечание. Отрицательное значение α_τ на третьей секунде полета показывает, что в этот момент скорость снаряда убывает, т. е. он еще находится на восходящей ветви параболы, например в точке В.

Пример 1.2. Диск радиусом R = 10 см находился в состоянии покоя, потом начал вращаться с постоянным угловым ускорением b=0,5 рад/с². Найти тангенциальное, нормальное и полное ускорение точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения, а также угол, который составляет вектор полного ускорения любой точки диска с его радиусом.

a_H=?, a_t=?, а=?, a=?

R=10 см=0,1 м

b=0,5 с ^–2

t=2 c, w₀=0

Решение

Разложим вектор полного ускорения а точки на тангенциальное ускорение α _τ и нормальное ускорение а _н (n – вектор внешней нормали к траектории):

.

Из рисунка видно, что tgα = α_τ/α_н. Используя связь линейных и угловых ускорений можно записать

α_τ = βR.

Известно, что нормальное ускорение определяется формулой:

,

где угловая скорость определяется из основного уравнения кинематики вращательного движения

.

По условию w₀ = 0, тогда .

Следовательно,

а_Н = β² t²R.

Производя вычисления, получим:

α_τ = 0.510^-1= 5×10^-2 (м/с²); а_н = 25·10^-2 · 4·10^-2 =10^-2 (м/с²).

(м/с²); , α =79°.

Примерная схема решения задач по кинематике

Дата добавления: 2014-01-04