Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Математические модели простейших экономических задач


Задача использования ресурсов

 

Для изготовления нескольких видов продукции P1, Р2 , ..., Рп используют твидов ресурсов S1, S2, ..., Sm. Это могут быть различные материалы, электроэнергия, полуфабрикаты и т.п. Объем каждого вида ресурсов ограничен и известен (b1, b2, ..., bm ). Известно aij (i = 1,2, ..., т; j = 1,2, ..., п) — количество каждого i-го вида ресурса, расходуемого на производство единицы j-го вида продукции. Кроме того, известна прибыль, получаемая от реализации единицы каждого вида продукции (с1, с2, ..., сп). Условия задачи можно представить в виде табл. 1.1.

Таблица 1.1

Вид ресурсов Объём ресурсов aij
P1 Р2 Рп
S1 b1 a11 a12 a1n
S2 b2 a21 a22 a2n
Sm bm am1 am2 a m n
Прибыль с1 с2 сп

Пусть хj (j = 1,2, ..., п) — количество каждого вида продукции, которое необходимо произвести. Для первого ресурса имеет место неравенство-ограничение a11x1+ a12x2+…+ a1n xn b1.

Аналогичные неравенства будут и для остальных видов ресурсов. Сле­дует учитывать также, что все значения хj0, j=1, 2, ..., п.

Общая прибыль, получаемая от реализации всей продукции, может быть представлена как функция

F(X) = с1 х1 + с2 х2 + ... + сп хп.

Необходимо эту функцию максимизировать.

Таким образом, математическая модель задачи использования ресурсов запишется в виде

F(X) = с1 х1 + с2 х2 + ... + сп хпmax,

В более компактной форме целевую функцию и систему ограничений можно записать, используя знак суммирования,

max,

i=1, 2, ..., m,

Задача о составлении рациона питания

Требуется составить ежедневный рацион питания животного на основе имеющихся видов кормов так, чтобы общая стоимость использованных кормов была минимальной. При этом животное не должно получать менее определённого количества питательных веществ, например, таких, как жиры, углеводы, белки, витамины и т.п.



Каждый вид корма содержит разную комбинацию этих веществ. Известна цена единицы веса каждого корма.

Пусть имеется п различных кормов (продуктов) Р1, Р2, ..., Рп и перечень из т необходимых питательных веществ S1, S2, ..., Sm . Обозначим через аij содержание (в весовых единицах) i-го питательного вещества в единице j-го корма, а через bi минимальную суточную потребность животного в i-м веществе. Через хj обозначим количество каждого вида корма в ежедневном рационе. Очевидно, что хj ≥0.

Условия задачи можно представить в виде табл. 1.2.

Таблица 1.2

Питательное вещество aij Суточная потребность
P1 Р2 Рп
S1 a11 a12 a1n b1
S2 a21 a22 a2n b2
Sm am1 am2 a m n bm
Стоимость 1 кг корма с1 с2 сп -

Для первого вида питательного вещества неравенство-ограничение примет вид a11x1+ a12x2+…+ a1n xn b1.

Аналогичные неравенства будут и для остальных питательных веществ. Сле­дует учитывать также, что все значения хj0, j=1, 2, ..., п.

Общие затраты на весь рацион питания животного можно найти на основе линейной функции

F(X) = с1 х1 + с2 х2 + ... + сп хп.

Необходимо эту функцию минимизировать.

Итак, математическая модель задачи составления рациона питания запишется в виде

F(X) = с1 х1 + с2 х2 + ... + сп хпmin,

Рассмотрим варианты составления математической модели для следующих задач.

Задача 1.(Планирование производства.)

Некоторое предприятие выпускает три типа продукции П123 двумя технологическими способами S1 и S2. Количество продукции j-гo вида (j = 1,2,3), произведенного i -м способом (i = 1,2) за единицу времени, задано табл. 1.3.

Необходимо так организовывать производство, чтобы получить наибольшую прибыль при реализации продукции по указанной стоимости.

Таблица 1.3

Продукции Т.способ П1 П2 П3 Лимит времени
S1
S2
Стоимость 1 ед. продукции  

 

 

Математическая модель задачи

Обозначим через хi jвремя, затраченное на изготовление продукции Пj (j = 1,2,3) i -м способом. Тогда план производства будет иметь вид:

S1 х11 х12 х13
S2 х21 х22 х23

При этом продукции 1-го вида будет выпущено 20х11+ 30х21 , 2-го вида 25х12+20х22 , 3-го вида 30х13+ 15х23. Стоимость всей продукции (обозначим ее за F) равна 5(20х11+ 30х21)+3(25х12+20х22)+6(30х13+ 15х23) и она должна быть максимальной. Но при этом есть ограничения по времени: х11+ х12 + х13 ≤10, х21+ х22 + х23 ≤8 и очевидно, все хi j 0.

Окончательно получаем математическую модель задачи

F=5(20х11+ 30х21)+3(25х12+20х22)+6(30х13+ 15х23) → max,

Задача 2. (Задача о смеси.)

Известно, что при правильном питании человек должен получать в день не менее 20 единиц витамина А, не менее 15 единиц витамина В. Содержание этих витаминов в одной единице каждого из продуктов П1, П2, П3 задано табл. 1.4. Составить наиболее дешевый рацион питания. Все данные занесены в табл. 1.4.

Таблица 1.4

Витамины Продукты А В Стоимость одной единицы Пi
П1
П2
П3
  ≥20 ≥15  

Математическая модель задачи

Пусть хi — количество продукта Пi, потребляемого в день (i=1,2,3), тогда стоимость всех продуктов (обозначим F) будет равна F=25х1 +30x2 + +20х3. При этом количество витамина А равно 4x1 + 5х2 + 2х3 , витамина В — 5x1 + 2х2 + 6х3, получаем математическую модель:

F=25х1 +30x2 +20х3 → min,

Задача 3. (О раскрое материала.)

Для изготовления некоторого изделия требуется 2 планки по 2 м, 3 — по 2,5 м и одна трехметровая. Для этого используют 100 досок по 7 м длиной. Как распилить доски, чтобы получить возможно большее число комплектов?



Математическая модель задачи

 

Рассмотрим возможные варианты распиливания досок.

Таблица 1.5

№ варианта Длина планки
2 м
2,5 м
3 м

Обозначим через хi— количество досок, распиленных i-м способом, тогда заготовок по 2 м получится 3x1+ 2х2 + 2х3 + х4, по 2,5 м — x2 + 2x4 + х5; по 3 м — х 3 + x5 + 2x6. Обозначим через к — число полученных изделий, тогда

3x1+ 2х2 + 2х3 + х4 = или 2(3x1+ 2х2 + 2х3 + х4 )=к,

x2 + 2x4 + х5 = или 3(x2 + 2x4 + х5 )=к,

х 3 + x5 + 2x6=к. Исключим к.

2(3x1+ 2х2 + 2х3 + х4 )= 3(x2 + 2x4 + х5 ) или 6x1+ х2 + 4х3 -4х4 -3х5 =0,

2(3x1+ 2х2 + 2х3 + х4 )= х 3 + x5 + 2x6 или 6x1+ 4х2 + 3х3 +2х4 -х5-2х6=0.

Окончательно получим математическую модель

к=х 3 + x5 + 2x6→ max,

все хi ≥0.

Мы видим, что различные экономические задачи приводят к одному и тому же типу математических задач. Задачи такого типа решаются методами линейного программирования.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Задачи математического и линейного программирования | Каноническая форма задачи линейного программирования

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 474; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.009 сек.