Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Операции над множествами. Из элементов двух и более множеств можно образовывать новые множества


Из элементов двух и более множеств можно образовывать новые множества.

 

1. Пересечение множеств.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множествам А и В одновременно (обозначают А Ç В).

Данное определение можно записать в таком виде:

А Ç В = {х½х Î А Ù х Î В}.

На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью.

А В

 
 

 


Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что множества не пересекаются, и пишут А Ç В = Æ.

Если элементы множеств А и В перечислены, то чтобы найти их пересечение, достаточно перечислить элементы, которые одновременно принадлежат множеству А и множеству В, т.е. их общие элементы.

Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А Ç В = {4, 5}.

Если множества А и В заданы указанием их характеристических свойств, то в их пересечение войдут только те элементы, которые обладают одним и другим свойством одновременно.

Например, если множество А – множество однозначных чисел, В – множество натуральных чисел, делящихся на 5, то множеству А Ç В принадлежат натуральные числа, делящиеся на 5.

 

2. Объединение множеств.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств (обозначают А È В).

Данное определение можно записать в таком виде:

А È В = {х½х Î А Ú х Î В}.

На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью.

А В

 

Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А È В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Рассмотрим случай, когда множества заданы указанием характеристического свойства. Пусть А – множество чисел, кратных 2; В – множество чисел, кратных 3. Тогда объединению этих множеств будут принадлежать числа, кратные 2 или 3.



Понятие пересечения и объединения множеств можно обобщить на любое конечное число множеств.

 

3. Разность множеств.

Определение. Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В (обозначают А \ В).

Данное определение можно записать так:

А \ В = {х½х Î А Ù х Ï В}.

На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью.

А В

 

Если А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А \ В = {1, 2, 3}.

Часто приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из множеств является подмножеством другого. Если В Ì А, то разность А \ В называют дополнением множества В до множества А (обозначают ).

Множество на рисунке показано штриховкой.

А

 
 

 

 


Определение. Дополнением множества А до универсального называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат универсальному, но не принадлежат множеству А (обозначают ).

Например, если I – множество цифр, а множество А = {1, 2, 3, 4, 5}, то = {6, 7, 8, 9, 0}.

Если множества заданы указанием характеристического свойства и В Ì А, то множество с помощью характеристического свойства, общий вид которого «х Î А Ù х Ï В». Так, если А множество натуральных чисел, кратных 3, а В – множество натуральных чисел, кратных 9, то – это множество, содержащее натуральные числа, кратные 3, но не кратные 9.

Мы рассмотрели различные операции над множествами. Часто для доказательства равенства множеств бывает необходимо знать, в каком случае элемент принадлежит тому или иному множеству. Для удобства составим таблицу.

 

х Î А Ç В Û х Î А Ù х Î В х Ï А Ç В Û х Ï А Ú х Ï В
х Î А È В Û х Î А Ú х Î В х Ï А È В Û х Ï А Ù х Ï В
х Î А \ В Û х Î А Ù х Ï В х Ï А \ В Û х Ï А Ú х Î В
х Î Û х Ï А х Ï Û х ÎА

Выясним, каков порядок выполнения действий над множествами.

Пересечение множеств – более «сильная» операция, чем объединение, поэтому в выражении А È В Ç С вначале нужно найти пересечение множеств В и С, а затем найти объединение множества А с полученным множеством.

Условились считать, что пересечение – более «сильная» операция, чем вычитание, поэтому в выражении А \ В Ç С сначала находят пересечение множеств В и С, а затем полученное множество вычитают из множества А.

Объединение и вычитание множеств считают равноправными, поэтому их выполняют в том порядке, в каком они записаны в выражении.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Отношения между множествами. Графическая иллюстрация множеств | Законы операций над множествами

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 620; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.004 сек.