Обратная функция

Пусть функция у = f (х) задает инъективное отображение числового множества Х в множество действительных чисел R (т.е. различным значениям аргумента соответствую различные значения функции).

Пусть Y – множество значений функции у = f (х), где х Î Х. Тогда для любого у ₀ Î Y найдется единственное значение х ₀ Î Х, такое, что у ₀ = f (х ₀). Этим определяется отображение Y на Х, т.е. функция х = φ (у), у Î Y. Такую функцию называют обратной для функции у = f (х), где х Î Х.

Чтобы найти выражение для обратной функции, надо выразить х через у и затем поменять их местами.

Замечание 1. Если отображение у = f (х) не является инъективным, то обратной функции не существует.

Замечание 2. Если функция у = f (х) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем она определена и возрастает (убывает) на Y.

Пример 1. Функция у = х ² (х Î R) не имеет обратной, т.к., например, значениям х = 5 и х = – 5 соответствует одно и то же значение у = 25.

Пример 2. Функция у = 2 х – 1 (х Î R) возрастает на всей числовой прямой, значит у нее есть обратная функция. Чтобы ее найти, надо из формулы у = 2 х – 1 выразить х. Получим х = .

Поменяем х и у местами. у = – искомая обратная функция.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение числовой функции. Перечислите способы задания функций.

2. Какое множество называют областью определения и множеством значений функции?

3. Какое множество точек координатной плоскости называют графиком функции?

4. Дайте определения постоянной функции, прямой пропорциональности, обратной пропорциональности, линейной функции, квадратичной функции и укажите их свойства.

Глава 4. Отношения на множестве

§ 1. Понятие отношения. Способы задания отношений

Мы выяснили, что между элементами двух различных множеств существуют различные соответствия. Но различные связи, отношения существуют и между элементами одного и того же множества.

Например, на множестве студентов первого курса можно рассмотреть отношения: «х старше у», «х и у – друзья», «х и у учатся в одной группе» и т.д.

В математике рассматриваются такие отношения как «х > у», «х кратно у», «прямая х параллельна прямой у» и т.д.

В математике чаще всего рассматриваются отношения между двумя объектами. Их называют бинарными.

Определение. Отношением между элементами множества Х или отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения Х ´ Х.

Другими словами: бинарное отношение – это соответствие, заданное на одном и том же множестве Х.

Обозначают отношения прописными буквами латинского алфавита: Р, Q, R и т.д.

Поскольку отношение есть частный случай соответствия, то и способы задания отношений будут те же, что и для соответствий.

Рассмотрим отношение «меньше», заданное на множестве Х = {1; 2; 3; 4}. Отношение задано указанием характеристического свойства. Зададим его перечислением: R = {(1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 3); (2; 4); (3; 4)}. Также данное отношение можно задать

таблицей

графом

графиком

Точки, изображающие элементы множества Х – вершины графа, стрелки – ребра графа.

Пример. Построим граф отношения «х кратно у», Х = {1; 2; 3; 4}.

Каждое число является делителем самого себя, поэтому для каждой точки множества рисуем стрелку, начало и конец которой совпадают (стрелку на графе, у которой начало и конец совпадают, называют петлей).

Графы отношений удобно использовать при решении логических задач, в том числе и в начальной школе.

Задача. Из лагеря вышли 5 туристов. Мы назовем их не в том порядке, в котором они идут один за другим: Вася, Аня, Толя, Лена и Миша. Толя идет впереди Миши, Лена – впереди Васи, но позади Миши, Аня – впереди Толи. Кто идет первым и кто идет последним? Кто идет вслед за Мишей, и кто идет перед Мишей?

В задаче рассматривается два отношения: «идти впереди» и «идти позади». Выберем одно из них, например, «идти впереди», т.е. будем на графе ставить стрелку от впереди идущего к тому, кто идет вслед за ним. Граф будет выглядеть следующим образом:

Вася Аня

Толя

Миша

Лена

По графу можно легко ответить на все вопросы задачи: Первой идет Аня, последним – Вася, Вслед за Мишей идет Лена, а перед Мишей – Толя.

Дата добавления: 2014-01-04