Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Виды функций


 

1. Постоянная функция.

Определение. Постоянной называется функция, заданная формулой у = b, где b - некоторое число.

у = b
у

Графиком является прямая, параллельная ости абсцисс и проходящая через точку с координатами (0; b).

 
 


х

2. Прямая пропорциональность.

Определение. Прямой пропорциональностью называется функция,

заданная формулой у = k х, где k ¹ 0. Число k называют коэффициентом

пропорциональности.

Свойства функции у = k х

1) Область определения – множество всех действительных чисел.

2) Множество значений – множество всех действительных чисел.

3) Функция нечетная, т.к. f (– х) = k (– х) = – k х = f (х).

4) При k > 0 функция возрастает, при k < 0 функция убывает.

5) Графиком прямой пропорциональности у = k х является прямая, проходящая через начало координат (если k > 0, то график расположен в первой и третьей четверти; если k < 0 – во второй и четвертой).

 

Свойство прямой пропорциональности: если функция f (х) – прямая пропорциональность, и (х1; у1), (х2; у2) – пары соответствующих значений, причем х2 ¹ 0, то . Действительно, у1 = k х1, у2 = k х2. Т.к. х2 ¹ 0, то у2 ¹ 0. Тогда .

Если х > 0 и у > 0, то свойство прямой пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается во столько же раз; с уменьшением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается во столько же раз.

 

3. Обратная пропорциональность

Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, заданная формулой у = , где k ¹ 0. Число k – коэффициент обратной пропорциональности.

Свойства функции у =

1) Область определения: (-; 0) È(0; +)

2) Множество значений: R \ {0}.

3) Функция нечетная, т.к. f (– х) = = –= f (х).

4) При k > 0 функция убывает на промежутке (-; 0) È(0; +), при k < 0 функция возрастает на промежутке (-; 0) È(0; +).

5) Графиком обратной пропорциональности является гипербола; при k > 0 график расположен в первой и третьей четверти, при k < 0 график расположен во второй и четвертой четверти. Чтобы построить график, надо составить таблицу значений функции.

 

Свойство обратной пропорциональности: если функция f (х) – обратная пропорциональность, и (х1; у1), (х2; у2) – пары соответствующих значений, причем х2 ¹ 0, у1 ¹ 0, то . Действительно, у1 = , у2 = . Тогда .

Если х > 0 и у > 0, то свойство обратной пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается во столько же раз; с уменьшением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается во столько же раз.



 

4. Линейная функция

Определение. Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой у = k х + b, где k и b – некоторые действительные числа.

Если k = 0, то получаем постоянную функцию, если b = 0, то получаем прямую пропорциональность у = k х.

Свойства:

1) Область определения – все действительные числа.

2) Множество значений – все действительные числа.

3) Функция не является ни четной, ни нечетной.

4) При k > 0 функция возрастает, при k < 0 функция убывает на всей числовой прямой.

5) Графиком линейной функции у = k х + b является прямая. Положение этой прямой на плоскости определяют коэффициенты k и b. Если k > 0, то угол между осью абсцисс и графиком функции острый, если k < 0, то угол тупой. Заметим, что чем больше модуль числа k, тем ближе прямая к оси ординат. Коэффициент b есть значение отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат.

Пусть даны две линейные функции у = k1 х + b1 и у = k2 х + b2. Прямые, являющиеся графиками данных функций, пересекаются, если k1 ¹ k2; параллельны, если k1 = k2; совпадают, если k1 = k2 и b1 = b2.

 

5. Квадратичная функция

Определение. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой у = ах2 + bx + с, где х – независимая переменная; а, b, с – некоторые числа, причем а ¹ 0.

Рассмотрим частный случай у = ах2. Графиком является парабола. Если а = 1, то формула примет вид у = х2, и график проходит через точки (0; 0), (1; 1), (-1; 1), (2; 4), (–2; 4) (постройте график самостоятельно)

График функции у = ах2 можно получить из графика функции у = ах2 сжатием к оси ординат, если а > 1 и сжатием к оси абсцисс, если 0 < а < 1.

Свойства функции у = ах2 (а > 0):

1) Область определения – вся числовая прямая.

2) Множество значений [0; +)

3) Функция четная.

4) Убывает на (–; 0), возрастает на (0; +).

5) График – парабола, проходящая через точку (0; 0).

6) Наименьшее значение принимает в точке (0; 0), наибольшего значения нет.

График функции у = – х2 получают из параболы у = х2 путем осевой симметрии относительно оси абсцисс.

Рассмотрим функцию у = ах2 + bx + с.

ах2 + bx + с = а(х2 + х + ) =

Получим формулу вида у = а(х – т)2 + п.

Графиком является парабола с вершиной в точке (т; п), где т = , п = .

Осью симметрии является прямая х = т, параллельная оси ординат; если то ветви направлены вверх, если а < 0, то ветви направлены вниз.

Свойства квадратичной функции у = ах2 + bx + с:

1) Область определения – вся числовая прямая.

2) Множество значений: при а > 0 , при а < 0

3) Если b ≠ 0, то функция не является ни четной, ни нечетной.

4) При а > 0 убывает на (–;), возрастает на промежутке (; +); при а < 0 возрастает на промежутке (–;), убывает на промежутке (; +).

 

Примеры построения графиков квадратичных функций.

Первый способ.

Пусть требуется построить график функции у =х2 + 4х + 5.

Выполним преобразования: х2 + 4х + 5 = (х2 + 8х + 10) = (х2 + 8х + 16 + 10 – 16) = = (х + 4)2 – 3.

Выполним параллельный перенос плоскости, поместив начало новой системы координат в точку О´(– 4; – 3) и построим в этой системе координат график функции у =х2.

Можно было воспользоваться формулами: х0 = = = – 4; у0 = = .

Второй способ – построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трехчлена.

Пусть требуется построить график функции у = х2 – 4х + 5.

Найдем точки графика, имеющие ординату 5. для этого решим уравнение х2 – 4х + 5 = 5.

Имеем: х2 – 4х = 0; х(х – 4) = 0, откуда х1 = 0; х2 = 4.

Точки А(0; 5) и В(4; 5) имеют одинаковую ординату, следовательно они симметричны относительно прямой х = 2. Если х = 2, то у = 4 – 8 + 5 = 1, т.е. вершина параболы имеет координаты (2; 1).

Третий способ – построение параболы по корням квадратного трехчлена.

Пусть х1 и х2 = корни квадратного трехчлена ах2 + bx + с, тогда график пересекает ось абсцисс в точке А(х1; 0) и В(х2; 0), а ось симметрии проходит перпендикулярно отрезку АВ через его середину, следовательно абсциссу вершины находим по формуле х0 = .

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Равномощные множества. Счетные и несчетные множества | Обратная функция

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 486; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.007 сек.