Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Лекция 15. Электромагнитные волны. Вектор Умова-Пойнтинга


Итак, изменяющееся магнитное поле порождает электрическое, а переменное электрическое - магнитное. Таким образом, эти переменные поля не могут существовать по отдельности: любое переменное поле (Е или В) всегда является электромагнитным. Более того, из уравнений Максвелла следует, что электромагнитное поле, возбужденное в ограниченной области, будет распространяться в пространстве, т.е. существовать в форме электромагнитных волн. Выясним, как это получается.

Запишем уравнения Максвелла для однородной непроводящей среды с магнитной проницаемостью m и диэлектрической e. Это значит, что в уравнения Максвелла следует подставить r=0, j=0, В=mm0Н, D=ee0Е, что удобно представить в таблице 3

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Таблица 3

Уравнения Максвелла, общий случай Уравнения Максвелла при r = 0, j= 0
I
div B= 0 II div H= 0
III
div D =r IV div E =0

 

Далее будем иметь дело с уравнениями правой колонки. Вычислим rot от первого уравнения, используя символ Ñ

[Ñ´[Ñ´E]] = Ñ(Ñ,E) - E(Ñ,Ñ). (152)

Эта формула отражает свойство двойного векторного произведения, известное под мнемонически удобным названием “bac - cab”:

[a´[b´c]] = b(a,c) - c(a,b).

Ñ(Ñ,E)=0, так как (Ñ,E)=divЕ=0, в соответствии с IV-тым уравнением. E(Ñ,Ñ)=(Ñ,Ñ)E=div grad Е =DЕ. Таким образом,

[Ñ´[Ñ´E]] = - DЕ. (153)

Это rot от левой части первого уравнения Максвелла. Операция rot от правой части после изменения порядка дифференцирования дает

. (154)

Подставляя rot H из III уравнения Максвелла и собирая вместе правую и левую части, имеем DЕ=mm0 ee0 2Е/¶t2, или в подробной записи

. (155)

Это - волновое уравнение. Повторив описанные действия, легко получить такое же уравнение для вектора H

. (156)

Каждое из волновых уравнений (155),(156) описывает волну, распространяющуюся с фазовой скоростью v, величина которой определяется коэффициентом при второй производной по времени . Так как для вакуума e=1, m=I, то скорость электромагнитной волны в вакууме = 3×108 м/с. С учетом этого



, (157)

откуда видно, что фазовая скорость распространения электромагнитной волны в среде в раз меньше, чем в вакууме. Важно, что эта скорость одинакова для Е и Н: электромагнитное поле и возникает, и распространяется как неразрывное целое своих электрической и магнитной частей.

Плоская электромагнитная волна. Рассмотрим электромагнит-ную волну, идущую вдоль оси х. Это значит, что все компоненты векторов Е и Н зависят только от х, а все производные по у и z равны нулю. Тогда

. (158)

Аналогично

. (159)

Учтем эти соотношения в правой колонке табл. 3, принимая во внимание, что уравнения I и III - векторные: каждое из них представляет собой совокупность трех скалярных. Справа от каждого уравнения дадим краткий комментарий.

Уравнения Максвелла для плоской электромагнитной волны. Таблица 4

I. 0=, Þ Hx не зависит от времени
, Þ изменение во времени Нy вызывает распространение Еz вдоль х
, Þ изменение во времени Нz вызывает распространение Еy вдоль х
II. , Þ Hx не зависит от х
III. 0 = , Þ Еx не зависит от времени
, Þ изменение Еy во времени порождает распространение Нz вдоль х
, Þ изменение Еz во времени порождает распространение Нy вдоль х
IV. , Þ Ex не зависит от х

Суммируем комментарии: Нx и Еx не зависят от времени и координаты х, являясь тем самым некоторыми постоянными составляющими электрического и магнитного полей. Прибавление постоянных величин к решениям волновых уравнений (155) и (156) повлияет только на значения констант в общем решении. Поскольку эти константы все равно придется получать из начальных условий, здесь допустимо положить Нx и Еx, равными нулю.

Остальные уравнения показывают, что изменение Нy связано с изменением Еz , а изменение Еy - только с изменением Нz; например, если в некоторый начальный момент возбудить изменение Еy , то появится Нz, а Нy - нет. Выпишем только те два уравнения, которые связывают Еy и Hy

, (160)

. (161)

Продифференцируем первое из этих уравнений по х, изменим порядок дифференцирования по х и по t, а затем подставим ¶Нz/¶х из второго уравнения

. (162)

Аналогично получаем уравнение для Нz

. (163)

Это - простейшие дифференциальные уравнения для волны. Как известно, эти уравнения имеют общие решения

Ey = Em cos(wt - kx + a1), (164)

Hz = Hm cos(wt - kx + a2), (165)

где k=w/v - волновое число, a1 и a2 - начальные фазы. Подставим эти решения в уравнения (160) и (161)

kEm sin(wt - kx + a1) = mmow Hm sin(wt - kx + a2),

kHm sin(wt - kx + a2) = eeow Em sin(wt - kx + a1).

Поместим начало координат в точку, соответствующую t=0

kEm sina1 = mmow Hm sina2,

kHm sina2 = eeow Em sina1.

Последнее может совместно выполняться, только если a1=a2, откуда

kEm=mm0wHm ,

ee0m=kHm.

Перемножая левые и правые части последних уравнений, получаем

.

Таким образом, колебания Е и Н в электромагнитной волне происходят в одной фазе, а амплитуды Еm и Нm связаны соотношением

. (166)

Решения (164) и (165) можно записать окончательно в векторном виде

E º jEv = Emcos(wt - kx), (167)

H º kHz = Hmcos(wt - kx). (168)

Рис.50

На рис.50 представлена соответствующая этим решениям электромагнитная волна в некоторый момент времени. Векторы Е, Н и v образуют правовинтовую систему и в каждой фиксированной точке пространства изменяются со временем по гармоническому закону. Изменения этих векторов в разных точках пространства происходят со сдвигом фаз, который определяется расстоянием между этими точками. Однако в любой данной точке колебания векторов Е и Н происходят синхфазно: оба вектора одновременно достигают своих максимумов, минимумов и нулевых значений.



 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Лекция 14. Энергия магнитного поля. Уравнения Максвелла в веществе | Вектор Умова-Пойнтинга. Излучение диполя

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 968; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.007 сек.