Математический анализ. Множества и функции

Лекция № 10. Общее уравнение плоскости в трехмерном пространстве. Уравнение плоскости в отрезках. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой. Прямая в трехмерном пространстве, ее канонические уравнения. Взаимное расположение прямых и плоскостей в трехмерном пространстве.

Лекция № 9. Ориентация базиса. Правые и левые тройки. Векторное произведение двух векторов и его свойства. Смешанное произведение трех векторов и его свойства. Условия компланарности трех векторов.

Лекция № 8. Теорема Кронекера-Капели. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Обратная матрица и способы ее нахождения. Матричный способ решения систем линейных уравнений.

Теорема (Кронекера – Капели) Чтобы система линейных уравнений была

совместной, необходимо и достаточно чтобы ранги основной и расширенной матриц были равны.

Общим способом решения системы линейных уравнений

(1)

является метод Гаусса. Суть его состоит в том, чтобы данную систему линейных уравнений преобразовать к эквивалентной системе, максимально ее упростив. Можно показать, что такие преобразования как: перестановка местами любых двух уравнений в системе; умножение любого уравнения на любое число ; умножение любого уравнения системы на любое число и прибавление его к любому другому уравнению системы, не изменяют множества решений системы, т.е. приводят к эквивалентной системе. Заметим, что перечисленные выше преобразования уравнений системы (1) фактически сводятся к элементарным преобразованиям матриц и , из которых построена расширенная матрица системы (1). Поэтому преобразуем расширенную матрицу к ступенчатому виду. В результате преобразований возможны следующие три случая.

1) При некотором преобразовании получаем строку матрицы, в которой все элементы до черты равны нулю, а элемент после черты отличен от нуля. Это говорит о том, что в системе есть уравнение

, ,

которое не имеет решений. Следовательно, в этом случае система несовместна.

2) После отбрасывания нулевых строк, если таковые есть, получим квадратную матрицу треугольного вида . В ней . По этой матрице можно записать систему уравнений, равносильную системе (1). Она имеет вид .

Из последнего уравнения находим . Подставляя это значение в предпоследнее уравнение, найдем . Затем, подставив найденные значения и в предыдущее уравнение, получим . Продолжая далее этот процесс, получим .

Таким образом, в этом случае система (1) имеет единственное решение. Такие системы называют определенными.

3) После отбрасывания нулевых строк, если таковые есть, получим матрицу ступенчатого вида . По этой матрице можно записать систему уравнений, равносильную системе (1). Она имеет вид

.

Не ограничивая общности можно считать, что . Выразив из последнего уравнения системы через , получим . Затем подставим найденное значение в предыдущее уравнение и выразим через . Подставив в предыдущее уравнение, выразим через . И так далее. После шагов мы выразим через и получим общее решение системы (1). Ясно, что в общем решении содержится бесконечно много решений системы (1), так как переменные могут принимать любые значения. Их называют свободными переменными. Придавая свободным переменным конкретные значения мы будем получать различные частные решения системы (1). Системы уравнений, имеющие бесконечно много решений, называют неопределенными.

Легко видеть, что если система (1) является однородной, то она всегда совместна, так как имеет решение . В этом случае никакое из элементарных преобразований не меняет матрицу свободных членов . Поэтому при решении однородных систем методом Гаусса обычно приводят к ступенчатому виду матрицу системы, а не расширенную матрицу системы.

Пусть имеем квадратную матрицу . Обратной для нее называют такую матрицу , которая удовлетворяет условию .

Легко заметить, что не всякая матрица имеет обратную. Действительно, по свойству определителей с учетом определения обратной матрицы должны иметь . А поскольку , то ни один из определителей и не может равняться нулю. Значит необходимым условием существования обратной матрицы для матрицы является ее невырожденность. Можно доказать, что это условие является и достаточным. Для этого просто укажем алгоритм получения обратной матрицы для любой невырожденной матрицы .

1) Вычисляем .

2) Для каждого элемента матрицы вычисляем алгебраические дополнения .

3) Составляем из этих алгебраических дополнений матрицу .

4) Транспонируем матрицу , получая матрицу , называемую присоединенной к матрице .

5) Умножаем матрицу на число .

Полученная в результате матрица и будет обратной для . В этом можно убедиться проверкой.

Существует другой способ нахождения обратной матрицы – способ перегонки. Суть его в следующем. Пусть имеем невырожденную квадратную матрицу . Припишем к данной матрице справа единичную матрицу , т.е. построим матрицу и с помощью элементарных преобразований над матрицами «перегоним» матрицу , стоящую справа от черты, на место матрицы , стоящей слева от черты. Тогда матрица, получившаяся справа от черты и будет обратной для . В этом можно убедиться проверкой.

Если в системе (1) число уравнений совпадает с числом неизвестных , а матрица системы является невырожденной, то кроме метода Гаусса можно также применить матричный метод. Суть его состоит в следующем. Находим матрицу , обратную для матрицы , и умножаем ее слева на матричное уравнение системы. Получаем . Учитывая, что , а , приходим к уравнению , которое и дает нам искомое решение (в матричном виде). Очевидно, что этот метод можно применять только для решения систем с невырожденной матрицей. В противном случае для матрицы нет обратной.

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная декартова система координат. Выберем произвольно точку и зададим ненулевой вектор . Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору . Возьмем на искомой плоскости произвольно точку отличную от точки и рассмотрим вектор . Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то , или , или . Обозначив число через , получим уравнение искомой плоскости

, (1)

Его называют общим уравнением плоскости, а вектор называют нормальным вектором для этой плоскости. Учитывая, что этот вектор ненулевой, в уравнении (1) числа , и не могут одновременно равняться нулю.

Рассмотрим теперь другие уравнения плоскости.

Допустим, что в общем уравнении плоскости (1) выполняются условия ,. Перенесем число в правую часть и поделим обе части уравнения на . Получим , или . Обозначив , приходим к уравнению

, (2)

которое называют уравнением плоскости в отрезках. Если в уравнении (2) положить и , то получим . Значит, точка лежит на оси , отсекая, тем самым на этой оси отрезок длины . Аналогично точка отсекает отрезок длины на оси , а точка отсекает отрезок длины на оси .

Найдем теперь уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , и , не лежащие на одной прямой. Возьмем на искомой плоскости текущую точку и рассмотрим векторы , и . Точка будет лежать в плоскости точек , и тогда и только тогда, когда векторы компланарны. Условие компланарности этих векторов имеет вид . Это и есть уравнение плоскости, проходящей через , и .

Аналогично тому, как была получена формула расстояния от точки до прямой на плоскости, можно найти формулу расстояния от точки до плоскости , а именно .

Рассмотрим теперь вопрос о взаимном расположении двух прямых и на плоскости. Если эти прямые пересекаются, то между ними образуется четыре угла с общей вершиной в точке пересечения. При этом различных углов будет только два. Очевидно, что если один из двух различных углов равен , то другой будет равен . Углом между прямыми и будем называть любой из углов или . Такая двойственность не должна пугать читателя, поскольку нахождение одного из этих углов непосредственно влечет и нахождение другого. Если же прямые и параллельны, то угол между ними будем считать равным нулю.

Допустим, что прямые и заданы общими уравнениями и соответственно. Рассмотрим нормальные векторы и этих прямых. Легко заметить, что угол между и будет углом между прямыми и и находится из формулы .

На основании теоремы 2.2 с учетом теоремы 2.3 для плоскости утверждаем, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух прямых и является условие .

Если прямые и параллельны, то их нормальные векторы и будут коллинеарны. По теореме 2.1. найдется число такое, что . Далее имеем . Отсюда . Итак, необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых и является пропорциональность координат нормальных векторов: .

Рассмотрим теперь вопрос о взаимном расположении двух прямых на плоскости, если прямые и заданы уравнениями и . Обозначим через и углы между положительным направлением оси ОХ и прямыми и соответственно. Тогда и .

Рисунок 25.

Угол между прямыми и может быть найден как (см. рис. 25). Тогда .

Поскольку и нам известны, то находим тангенс искомого угла и сам угол. Из полученной формулы определим условия перпендикулярности и параллельности прямых и .

Параллельность прямых и означает, что . Следовательно , или , или . Итак, для параллельности прямых и необходимо и достаточно равенство угловых коэффициентов этих прямых.

Перпендикулярность прямых и означает, что . Тогда не существует, что равносильно равенству нулю знаменателя дроби, т.е . Таким образом для перпендикулярности прямых и необходимо и достаточно, чтобы угловые коэффициенты этих прямых удовлетворяли равенству , или .

Дата добавления: 2014-01-04