Дифференцируемость функции. Нахождение производной функции называется ее дифференцированием

Нахождение производной функции называется ее дифференцированием.

Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Теорема о зависимости между непрерывностью и днфференцируемостью функции: если функция дифференцируема в точке, то она в этой точке непрерывна.

Без доказательства.

Замечание: обратное утверждение в общем случае не является верным, т.е. если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно в ней дифференцируема. Непрерывность функции является необходимым, но не достаточным условием ее дифференцируемости.

Приведем пример функции, которая, являясь непрерывной в точке
х = 0, при этом недифференцируема в этой точке. На рисунке 3.2 представлен график функции у = |х|. Она непрерывна в точке
х = 0. Производная функция (если она существует) равна . Последний предел не существует, так как односторонние пределы в этой точке не совпадают (). Следовательно, производная в точке х = 0 не существует (геометрически это означает отсутствие касательной к кривой в точке х = 0).

Схема вычисления производной

Схема нахождения производной функции у = f(х) включает следующие этапы:

1. Дают аргументу х приращение Dх ¹ 0 и находят значение функции
у = f(х + Dх).

2. Находят приращение функции Dу = f(х + Dх) - f(х).

3. Составляют отношение Dу/Dх.

4. Находят его предел при Dх ® 0 (если этот предел существует).

Рассмотрим эти этапы на примере функции у = х³. Чтобы найти ее производную, дадим аргументу приращение Dх ¹ 0 и найдем у = f(х + Dх) =
= (х + Dх)³ = х³ + 3х²Dх + 3хDх² + Dх³. Затем найдем приращение функции
Dу = f(х + Dх) - f(х) = f(х + Dх) - х³ = 3х²Dх + 3хDх² + Dх³ = Dх (3х² + 3хDх +
+ Dх²). Составим отношение Dу/Dх = 3х² + 3хDх + Dх². Найдем его предел .

Можно доказать, что для любого n (xⁿ)` = nx^n-1.

Дата добавления: 2014-01-04