Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Квадратичные формы

Читайте также:
  1. Cущность и формы предпринимательства
  2. I.Формы государственного управления
  3. II. Борьба по вопросам административной реформы и единого языка
  4. II. Клеточные формы.
  5. II. Реформы Амануллы-хана и их последствия
  6. II. Реформы «четырех модернизаций» и их результаты
  7. III. Реформы Фредерика де Клерка
  8. А. Понятие и формы заключения цивильного брака
  9. А. Причины церковной реформы. Филарет и патриарх Никон
  10. Адмена прыгоннага права. Буржуазныя рэформы 60—70-х гг. XIX ст.
  11. Александр II Освободитель (1855 - 1881). Реформы 60 - 70-х гг. ХГХ в.
  12. Анатомия формы

Квадратичной формой f(х1, х2,...,хn) от n переменных называют сумму, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятым с некоторым коэффициентом: f(х1, х2,...,хn) = (aij = aji).

 

Матрицу А, составленную из этих коэффициентов, называют матрицей квадратичной формы. Это всегда симметрическая матрица (т.е. матрица, симметричная относительно главной диагонали, aij = aji).

В матричной записи квадратичная форма имеет вид f(Х) = ХТAX, где

. В самом деле

 

 

Например, запишем в матричном виде квадратичную форму .

Для этого найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, а остальные элементы - половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

 

 

Пусть матрица-столбец переменных X получена невырожденным линейным преобразовании матрицы-столбца Y, т.е. X = CY, где С - невырожденная матрица n-го порядка. Тогда квадратичная форма
f(X) = ХTАХ = (CY)TA(CY) = (YTCT)A(CY) = YT(CTAC)Y.

Таким образом, при невырожденном линейном преобразовании С матрица квадратичной формы принимает вид: А* = CTAC.

 

Например, найдем квадратичную форму f(y1, y2), полученную из квадратичной формы f(х1, х2) = 2x12 + 4х1х2 - 3х22 линейным преобразованием .

 

 

 

Квадратичная форма называется канонической (имеет канонический вид), если все ее коэффициенты aij = 0 при i ≠ j, т.е.
f(х1, х2,...,хn) = a11 x12 + a22 x22 + … + ann xn2 = .

Ее матрица является диагональной.

 

Теорема (доказательство здесь не приводится). Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования.

 

Например, приведем к каноническому виду квадратичную форму
f(х1, х2, х3) = 2x12 + 4х1х2 - 3х22 – х2х3.

Для этого вначале выделим полный квадрат при переменной х1:

f(х1, х2, х3) = 2(x12 + 2х1х2 + х22) - 2х22 - 3х22 – х2х3 = 2(x1 + х2)2 - 5х22 – х2х3.

Теперь выделяем полный квадрат при переменной х2:

f(х1, х2, х3) = 2(x1 + х2)2 – 5(х22 – 2* х2*(1/10)х3 + (1/100)х32) - (5/100)х32 =
= 2(x1 + х2)2 – 5(х2 – (1/10)х3)2 - (1/20)х32.

Тогда невырожденное линейное преобразование y1 = x1 + х2, y2 = х2 – (1/10)х3 и y3 = x3 приводит данную квадратичную форму к каноническому виду f(y1, y2, y3) = 2y12 - 5y22 - (1/20)y32.

 

Отметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно (одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду разными способами[1]). Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. В частности, число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду (например, в рассмотренном примере всегда будет два отрицательных и один положительный коэффициент). Это свойство называют законом инерции квадратичных форм.



Убедимся в этом, по-другому приведя ту же квадратичную форму к каноническому виду. Начнем преобразование с переменной х2:
f(х1, х2, х3) = 2x12 + 4х1х2 - 3х22 – х2х3 = -3х22 – х2х3 + 4х1х2 + 2x12 = -3(х22
- 2* х2 ((1/6) х3 + (2/3)х1) +((1/6) х3 + (2/3)х1) 2) – 3((1/6) х3 + (2/3)х1) 2+ 2x12 =
= -3(х2 – (1/6) х3 - (2/3)х1)2– 3((1/6) х3 + (2/3)х1)2+ 2x12 = f(y1, y2, y3) = -3y12 -
-3y22 + 2y32, где y1 = - (2/3)х1 + х2 – (1/6) х3, y2 = (2/3)х1 + (1/6) х3 и y3 = x1. Здесь положительный коэффициент 2 при y3 и два отрицательных коэффициента (-3) при y1 и y2 (а при использовании другого способа мы получили положительный коэффициент 2 при y1 и два отрицательных – (-5) при y2 и (-1/20) при y3).

 

Также следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы, равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

 

Квадратичную форму f(X) называют положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных, не равных одновременно нулю, она положительна, т.е. f(X) > 0 (отрицательна, т.е.
f(X) < 0).

Например, квадратичная форма f1(X) = x12 + х22 - положительно определенная, т.к. представляет собой сумму квадратов, а квадратичная форма f2(X) = -x12 + 2x1х2 - х22 - отрицательно определенная, т.к. представляет ее можно представить в виде f2(X) = -(x1 - х2)2.

 

В большинстве практических ситуации установить знакоопределенность квадратичной формы несколько сложнее, поэтому для этого используют одну из следующих теорем (сформулируем их без доказательств).

Теорема. Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (отрицательны).

Теорема (критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы этой формы положительны.

Главным (угловым) минором k-го порядка матрицы А n-го порядка называют определитель матрицы, составленный из первых k строк и столбцов матрицы А ( ).

Отметим, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, причем минор первого порядка должен быть отрицательным.

 

Например, исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х1, х2) = 2x12 + 4х1х2 + 3х22.

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l2) – 4 = l2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Следовательно, квадратичная форма – положительно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А D1 = a11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка D2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – положительно определенная.

 

Исследуем на знакоопределенность другую квадратичную форму, f(х1, х2) = -2x12 + 4х1х2 - 3х22.

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l2) – 4 = l2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Следовательно, квадратичная форма – отрицательно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А D1 = a11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – отрицательно определенная (знаки главных миноров чередуются, начиная с минуса).

 

И в качестве еще одного примера исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х1, х2) = 2x12 + 4х1х2 - 3х22.

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (-6 - 2l + 3l + l2) – 4 = l2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
. Одно из этих чисел отрицательно, а другое – положительно. Знаки собственных значений разные. Следовательно, квадратичная форма не может быть ни отрицательно, ни положительно определенной, т.е. эта квадратичная форма не является знакоопределенной (может принимать значения любого знака).

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А D1 = a11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка D2 = = -6 – 4 = -10 < 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора | Расстояние от точки до прямой

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1225; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2019) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.003 сек.