Расстояние от точки до прямой

Точка пересечения прямых

Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой на плоскости

Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве

Общее уравнение прямой

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя переменными в общем виде: ах + bу + с = 0, в котором коэффициенты a и b не равны одновременно нулю, т.е. a² + b² ≠ 0.

Пусть b ≠ 0. Тогда уравнение ах + bу + с = 0 можно записать в виде
у = (-а/b)х – с/b, т.е. получено уравнение прямой с угловым коэффициентом
k = -а/b. При этом если a ≠ 0, а с = 0, то у = kx, т.е. получено уравнение прямой, проходящей через начало координат. Если a = 0, а с ≠ 0, то
у = – с/b = const, т.е. получено уравнение прямой, параллельной оси абсцисс. Если a = с = 0, то у = 0 (уравнение оси абсцисс).

Пусть b = 0. Тогда уравнение ах + bу + с = 0 примет вид х = -с/а. Если с ≠ 0, то получим уравнение прямой, параллельной оси ординат, а если с = 0, то саму ось ординат (х = 0).

Таким образом, во всех рассмотренных случаях уравнение ах + bу +
+ с = 0 есть уравнение прямой линии на плоскости. Его называют общим уравнением прямой.

Пусть прямые заданы общими уравнениями а₁х + b₁у + с₁ = 0 и
а₂х + b₂у + с₂ = 0. Тогда их угловые коэффициенты k₁ = -а₁/b₁ кг и k₂ = -а₂/b₂, а условие параллельности примет вид а₁/b₁ = а₂/b₂ Таким образом, условие параллельности прямых, заданных общими уравнениями, - пропорциональность коэффициентов при переменных.

Условие перпендикулярности для таких прямых примет вид
(-а₁/b₁)*(-а₂/b₂) = - 1; а₁а₂ + b₁b₂ = 0 (равенство нулю суммы произведений коэффициентов при переменных).

Пусть прямые заданы общими уравнениями а₁х + b₁у + с₁ = 0 и
а₂х + b₂у + с₂ = 0. Координаты их точки пересечения должны удовлетворять уравнению каждой прямой, т.е. они могут быть найдены из системы уравнений:

а₁х + b₁у + с₁ = 0

а₂х + b₂у + с₂ = 0

Если прямые не параллельны, такая система всегда имеет единственное решение - точку пересечения этих прямых.

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на эту прямую.

Пусть даны точка М(х₀,у₀) и прямая ах + bу + с = 0. Для определения расстояния d от точки до прямой необходимо:

а) составить уравнение прямой, перпендикулярной данной, проходящей через точку М;

б) найти точку пересечения двух прямых N;

в) найти расстояние между двумя точками М и N по формуле нахождения длины отрезка.

Опустим преобразования. Формула примет вид:

[1] Рассмотренный способ приведения квадратичной формы к каноническому виду удобно использовать, когда при квадратах переменных встречаются ненулевые коэффициенты. Если их нет, осуществить преобразование все равно возможно, но приходится использовать некоторые другие приемы. Например, пусть f(х₁, х₂) = 2x₁х₂ = x₁² + 2x₁х₂ + х₂² - x₁² - х₂² =

= (x₁ + х₂)² - x₁² - х₂² = (x₁ + х₂)² – (x₁² - 2x₁х₂ + х₂²) - 2x₁х₂ = (x₁ + х₂)² –
- (x₁ - х₂)² - 2x₁х₂; 4x₁х₂ = (x₁ + х₂)² – (x₁ - х₂)²; f(х₁, х₂) = 2x₁х₂ = (1/2)*
*(x₁ + х₂)² – (1/2)*(x₁ - х₂)² = f(y₁, y₂) = (1/2)y₁² – (1/2)y₂², где y₁ = х₁ + х₂, а
y₂ = х₁ – х₂.

Дата добавления: 2014-01-04