Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Рассмотрим теперь более сложные – нелинейные – операции над векторами: скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

Определение 1. Скалярным произведением двух векторов и называется число , равное произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними:

= . (3.1)

Поскольку пр, а пр(см. определение 2 §2), получаем, что = пр= пр.

Свойства скалярного произведения:

, (3.2)

, (3.3)

. (3.4)

Равенство (3.2) вытекает из определения скалярного произведения: = =.

Равенства (3.3) и (3.4) доказываются с помощью формул (2.1) и (2.3):

пр= пр+ пр= ,

прпр= .

Из (3.2) и (3.3) имеем

, (3.5)

так как , а из (3.2) и (3.4):

, (3.6)

поскольку .

Для того, чтобы записать скалярное произведение в координатной форме, обозначим через единичные векторы координатных осей Ох, Оу, Оz в пространстве соответственно. Очевидно, что . Поэтому , т.е. любой вектор можно записать в виде =. Заметим также, что для скалярных произведений векторов справедливы равенства , .

Пусть теперь . Тогда по свойствам (3.2) – (3.6) скалярного произведения имеем . Таким образом,

. (3.7)

В частном случае при получаем , поэтому длина вектора равна

. (3.8)

С помощью формулы (3.8) можно получить формулу для вычисления расстояния между точками и . Расстояние АВ равно длине вектора , где и - радиус-векторы точек А и В соответственно. Поэтому по формуле (3.8) имеем

. (3.9)

Пример 1. Найдем скалярное произведение векторов и и угол между ними.

Решение. По формуле (3.7) , по формуле (3.8) из формулы (3.1) находим

, .

Пример 2. Найдем расстояние между точками А (2,3,6) и В (1,0,–2).

Решение. По формуле (3.9) находим .

Рассмотрим теперь векторное произведение векторов.

Определение 2. Векторным произведением двух векторов и называется вектор

. (3.10)

Другое определение, равносильное данному определению.

Определение 3. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) если векторы и коллинеарны, то = 0;

2) если векторы и не коллинеарны, то вектор перпендикулярен векторам и и направлен так, что система ориентирована так же, как и данная система координат. Длина же вектора равна

, (3.11)

т.е. длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Замечание. Системы координат в пространстве могут быть ориентированы по- разному. Различают правую и левую системы координат. Правая система координат: если с конца вектора смотреть на вектор (т.е. на положительное направление оси Оу), то вектор (т.е. ось Ох) находится справа. Левая система координат: если с конца вектора смотреть на вектор (т.е. на положительное направление оси Оу), то вектор (т.е. ось Ох) находится слева. В определении 3 поставлено условие, что система ориентирована так же, как система .

Правая система координат. Левая система координат.

Рассмотрим свойства векторного произведения.

1) ; 2) ; 3) , где - произвольные векторы, α – число.

Все эти свойства получаются из формулы (3.10) и свойств определителя. Действительно,

; ; .

Пример 3. Верно ли, что ? ?

Решение. Верно, так как по свойствам векторного произведения имеем , .

Пример 4. Найдем векторное произведение векторов и .

Решение. Запишем векторы и в координатной форме: = (1,–2, 3), = (2, 1,–1). По формуле (3.10) имеем

, т.е. вектор имеет координаты (–1, 7, 5).

Пример 5. На плоскости даны три точки А (1;2), В (–1;3), С (0;–2). Найдем площадь параллелограмма, сторонами которого являются отрезки АВ и АС.

Решение. По определению 3 площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна длине вектора , являющегося векторным произведением векторов и . Поэтому нам нужно найти длину вектора, являющегося векторным произведением векторов и . Чтобы найти векторное произведение векторов и воспользуемся формулой (3.10). Найдем координаты этих векторов:, (третья координата равна нулю, так как векторы находятся в плоскости ). Тогда

= , т.е. искомая площадь параллелограмма равна 9.

Заметим, что из определения 3 следует, что векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю. Согласно первому условию определения 3 из коллинеарности векторов следует равенство нулю их векторного произведения, а из формулы (3.11) получаем обратное утверждение, так как для ненулевых векторов из равенства нулю векторного произведения следует равенство нулю синуса угла между векторами, т.е. этот угол равен либо 0, либо , что и означает коллинеарность векторов.

Равенство нулю векторного произведения означает, что координаты вектора равны нулю. Из равенства (3.10) получаем, что одновременно , и .Отсюда , и , , т.е. . Таким образом, получаем, что векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Например, векторы и коллинеарны, так как .

Рассмотрим, наконец, смешанное произведение векторов.

Определение 4. Смешанным (векторно-скалярным) произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор . Обозначается .

Получим формулу для вычисления смешанного произведения векторов , и .По формулам (3.10) и (3.7), определению определителя 2-го порядка и формуле разложения определителя 3-го порядка по элементам третьей строки имеем

=

. Таким образом, смешанное произведение трех векторов вычисляется по формуле

= . (3.12)

пр

В силу определения скалярного произведения =пр. Поскольку ‌│пр│- высота параллелепипеда, построенного на векторах , и , в основании которого лежит параллелограмм, имеющий площадь , то ││- объем этого параллелепипеда. Таким образом, модуль смешанного произведения векторов , и равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Если векторы , , лежат в одной плоскости, то векторы и перпендикулярны, поэтому = 0. Обратно, если = 0, то , поэтому , и лежат в одной или параллельных плоскостях. Таким образом, условие = 0 является необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов , и .

Свойства смешанного произведения:

1. Смешанное произведение не изменяется при циклической перестановке перемножаемых векторов: = = .

Это следует из свойства б) определителя:

= = ,

= = .

2. Смешанное произведение меняет знак при перестановке двух векторов, например,

= . Это следует из того же свойства б) определителя.

Пример 6. Проверим, компланарны ли векторы

Решение. Вычислим смешанное произведение векторов , и : = =, т.е. данные векторы компланарны.

Пример 7. Выясним, лежат ли точки А (0;0;1), В (2;3;5), С (6;2;3), D (3;7;2) в одной плоскости. Если нет, то найдем объем параллелепипеда с вершинами в этих точка.

Решение. Данные точки лежат в одной плоскости, если в одной плоскости лежат векторы и . Найдем их координаты и вычислим смешанное произведение: Смешанное произведение не равно нулю, поэтому векторы не компланарны и не лежат в одной плоскости. Объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения, т.е. равен 120 ед.

Дата добавления: 2014-01-04