Прямая на плоскости

Прямая линия (короче, прямая) является одним из основных понятий геометрии. Чтобы ввести понятие прямой, зададим на плоскости прямоугольную (декартову) систему координат хОу.

Определение 1. Прямой линией на плоскости называется множество всех точек М (х; у), координаты которых удовлетворяют уравнению

, (4.1)

где А, В, С – заданные числа, причем А и В не равны нулю одновременно. Уравнение (4.1) называется общим уравнением прямой на плоскости.

Пусть точка лежит на прямой, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению (4.1): . Вычитая это равенство из (4.1), получим

. (4.2)

Пусть вектор.Поскольку вектор , (4.2) можно записать с помощью скалярного произведения векторов и в виде . Отсюда следует, что векторы и перпендикулярны. Вектор лежит на данной прямой, поэтому вектор перпендикулярен этой прямой. Таким образом, мы получили геометрический смысл коэффициентов А и В общего уравнения прямой на плоскости (4.1): коэффициенты А и В общего уравнения прямой на плоскости – это координаты вектора, перпендикулярного данной прямой. Поэтому уравнение (4.2) – это уравнение прямой на плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору .

Рассмотрим частные случаи уравнения (4.1).

Пусть А = 0. Тогда , т.е. прямая представляет собой множество всех точек М (х; у), у которых координата у постоянна и равна , а координата х принимает произвольные значения. Эта прямая параллельна оси Ох при и совпадает с осью Ох, если С = 0.

Пусть В = 0. Тогда , т.е. в этом случае прямая параллельна оси Оу, если , и совпадает с осью Оу при С = 0.

Уравнения и иногда называют неполными уравнениями прямой.

Если С = 0, то получаем уравнение , которое проходит через начало координат, так как координаты точки О (0;0) удовлетворяют этому уравнению.

Пусть теперь . Преобразуем уравнение (4.1) следующим образом: , где . Это уравнение прямой, которое имеет специальное название.

Определение 2. Уравнение прямой вида

(4.3)

называется уравнением прямой в отрезках.

Уравнение прямой в отрезках удобно при построении прямой, так как прямая, очевидно, проходит через точки (а;0) и (0; b) осей координат, т.е. отсекает на осях координат соответствующие отрезки.

Выведем теперь уравнение прямой, проходящей через данную точку и параллельной данному вектору . Если точка М (х, у) лежит на прямой, то вектор тоже лежит на этой прямой и коллинеарен данному вектору . Поэтому координаты этих векторов пропорциональны, т.е. - искомое уравнение прямой.

Определение 3. Уравнение прямой вида

(4.4)

называется каноническим уравнением прямой на плоскости, проходящей через точку . Вектор называется направляющим вектором прямой.

Обозначив общее значение дробей в уравнении (4.4) буквой t, т.е. положив = t, получим .

Определение 4. Уравнение прямой вида

, (4.5)

называется параметрическим уравнением прямой, проходящей через точку в направлении вектора . Параметр .

Пусть в общем уравнении прямой (4.1) . Решим его относительно у: . Обозначив , получим .

Определение 5. Уравнение прямой вида называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Коэффициент k называется угловым коэффициентом прямой.

Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки и . Координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой, т.е. и . Вычитая из второго равенства первое, получим и . Из рисунка видим, что , где α – угол наклона

прямой к оси абсцисс. Из равенства вычтем равенство , получим (4.6) - уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку.Подставив , имеем . Отсюда   - уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и , .

у

О

α

α

х

(4.7)

- уравнение прямой, проходящей через две заданные точкии , .

Если или , то получаем соответственно прямые и .

Пример 1. Составим уравнение прямой, проходящей через точки А (2;1) и В (1;3).

Решение. По формуле (4.7) имеем , и . Отсюда - уравнение прямой с угловым коэффициентом, или - общее уравнение прямой.

Пример 2. Дано общее уравнение прямой . Запишем уравнение прямой с угловым коэффициентом и уравнение прямой в отрезках.

Решение. Выразим из данного уравнения у: - уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Перенесем теперь свободный член данного уравнения в правую часть и разделим обе части на 6: - уравнение прямой в отрезках.

Получим теперь формулы для вычисления угла между двумя прямыми. Если прямые заданы общими уравнениями и , то, очевидно, угол между ними равен углу между векторами и , перпендикулярными данным прямым. Поэтому и

. (4.8)

Если прямые перпендикулярны, то угол , и

. (4.9)

Если же прямые параллельны, то векторы и коллинеарны, поэтому

(4.10)

Таким образом, нами получены условие перпендикулярности (4.9) и параллельности (4.10) прямых, заданных общими уравнениями.

О

у

х

Пусть теперь прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом: и . Найдем угол между этими прямыми. Пусть и - углы, образованные данными прямыми с положительным направлением оси Ох, тогда ,

	, =+ , =. Таким образом, . Чтобы угол был положительным, положим , откуда . (4.11)

В частности, , если

, (4.12)

и , если , т.е.

. (4.13)

Таким образом, нами получены условие перпендикулярности (4.13) и параллельности (4.12) прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом.

Пример 3. Найдем острый угол между прямыми и .

Решение. Видим, что . По формуле (4.11) находим .

Отметим без доказательства, что расстояние от точки до прямой, заданной уравнением , находится по формуле

. (4.14)

Пример 4. Найдем расстояние от точки А (1;1) до прямой .

Решение. По формуле (4.14) находим .

В

С

О

у

х

Получим теперь формулы для нахождения координат точки С, делящей отрезок АВ пополам. Из рисунка видим, что , поэтому

= . Отсюда находим

А

. (4.15)

Заметим, что совершенно аналогично можно получить формулы для нахождения координат точки С, делящей отрезок АВ в отношении p: q (АС: СВ = p: q):

. (4.16)

Пример 5. Даны вершины треугольника А (1;2), В (-1; 3), С (2;4). Составим уравнение медианы треугольника, проходящей через точку С.

Решение. Найдем координаты точки М, делящей сторону АВ пополам: . По формуле (4.7) запишем уравнение прямой, проходящей через точки М и С: . Отсюда получаем и .

Пример 6. Даны вершины треугольника А (1;0), В (2;4), С (3;-4). Составим уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С и найдем ее длину.

Решение. По формуле (4.7) запишем уравнение стороны АВ треугольника: или , отсюда . Вспоминая геометрический смысл коэффициентов общего уравнения прямой, заключаем, что стороне АВ треугольника перпендикулярен вектор . Поэтому нам нужно составить уравнение прямой, проходящей через точку С и параллельной вектору . По формуле (4.4) канонического уравнения прямой имеем или , т.е. искомое уравнение прямой имеет вид . Длина высоты равна расстоянию от точки С до прямой АВ и вычисляется по формуле (4.14): .

Дата добавления: 2014-01-04