Кривые второго порядка на плоскости

Из множества кривых второго порядка на плоскости рассмотрим окружность, эллипс, гиперболу и параболу.

О

у

х

М (х; у)

. А (а; b)

Определение 1. Окружностью называется множество всех точек М (х, у) плоскости, расстояние которых до фиксированной точки А (а, b) есть величина постоянная, равная R.

Выведем уравнение окружности. По формуле (3.9) расстояния между двумя точками находим и

. (5.1)

Уравнение (5.1) называется каноническим уравнением окружности с центром А (а, b) и радиусом R.

В частном случае, когда центром окружности является начало координат, уравнение (5.1) имеет вид .

Пример 1. Запишем каноническое уравнение окружности с центром А (-1;2) и радиусом 3.

Решение. По формуле (5.1) получаем - искомое уравнение окружности.

Пример 2. Определим координаты центра и радиус окружности .

Решение. Приведем данное уравнение окружности к каноническому виду (5.1). Для этого выделим полные квадраты из выражений, содержащих х и у: = 0, то есть каноническое уравнение окружности имеет вид . Видим, что центр окружности находится в точке А (2;-7), а радиус равен 1.

Определение 2. Эллипсом называется множество всех точек М (х, у) плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек и (фокусов) есть величина постоянная, равная .

Определение 3. Расстояние между фокусами называется фокальным расстоянием и обозначается 2 с. Середина отрезка называется центром эллипса. Прямая, на которой лежат фокусы, называется фокальной осью эллипса, перпендикулярная к ней прямая, проходящая через центр эллипса, называется второй осью эллипса. Точки пересечения осей эллипса с эллипсом называются вершинами эллипса. Отрезок, а также длина 2 а этого отрезка, фокальной оси эллипса, заключенный между вершинами эллипса, называется большой осью эллипса. Малой осью эллипса называется отрезок, а также длина 2 b этого отрезка, второй оси эллипса, заключенный между вершинами эллипса. Числа а и b называются большой и малой полуосью эллипса. Число называется эксцентриситетом эллипса. Прямая, перпендикулярная фокальной оси эллипса и отстоящая от центра на расстоянии , называется директрисой эллипса.

Очевидно, что у эллипса две директрисы. Каноническое уравнение эллипса, соответствующее частному случаю, когда центр эллипса находится в начале координат, фокальная ось совпадает с осью Ох, а вторая ось эллипса – с осью Оу, имеет вид

у

. (5.2)

b

а

О

М (х; у)

х

Заметим, что эксцентриситет характеризует степень сжатия эллипса. Так как , то при получаем с = 0 и е = 0, т.е. окружности соответствует эксцентриситет, равный нулю. При b близком к нулю эксцентриситет близок к 1, т.е. чем ближе эксцентриситет к 1, тем больше сплюснут эллипс.

Пример 3. Запишем каноническое уравнение эллипса , найдем его полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис. Построим эллипс и директрисы.

у

Решение. Разделив обе части уравнения на 16, получим каноническое уравнение

О

. После этого построим эллипс и директрисы.

Определение 4. Гиперболой называется множество всех точек М (х, у) плоскости, модуль разности расстояний которых до двух данных точек и (фокусов гиперболы) есть величина постоянная, равная 2 а.

М (х; у)

.

.

О

у

х

Определение 5. Расстояние между фокусами гиперболы называется фокальным расстоянием и обозначается 2 с. Середина отрезка называется центром гиперболы. Прямая, на которой лежат фокусы гиперболы, называется действительной (или фокальной) осью гиперболы, перпендикулярная к ней прямая, проходящая через центр гиперболы, называется мнимой осью гиперболы. Числа а и называются соответственно действительной и мнимой полуосью гиперболы.

Точки пересечения осей с гиперболой называются вершинами гиперболы. Число называется эксцентриситетом гиперболы. Прямая, перпендикулярная действительной оси гиперболы и отстоящая от центра на расстоянии , называется директрисой гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

, (5.3)

где а и - полуоси гиперболы. Прямые называются асимптотами гиперболы.

Пример 4. Запишем каноническое уравнение гиперболы , найдем ее полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис, построим гиперболу, ее асимптоты и директрисы.

Разделив обе части уравнения на 18, получим каноническое уравнение гиперболы , из которого находим полуоси , половину фокального расстояния

у = – 0,5 х

у = 0,5 х

у

Решение.

, фокусы , эксцентриситет , уравнения асимптот , уравнения директрис . После этого построим асимптоты, гиперболу и директрисы.

Определение 6. Параболой называется множество всех точек М (х, у) плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки (фокуса параболы) равно расстоянию до данной прямой d (директрисы).

у

Определение 7. Точка пересечения параболы с ее осью симметрии называется вершиной параболы, а ось симметрии – осью параболы. Эксцентриситет параболы равен единице.

М (х; у)

Каноническое уравнение параболы имеет вид

, (5.4)

где p – расстояние от фокуса до директрисы.

d

О

F

х

.

Парабола обладает следующим оптическим свойством: световые лучи, исходящие из фокуса, после зеркального отражения от параболы распространяются параллельно оси.

Пример 5. Уравнение параболы имеет вид . Найдем координаты фокуса и уравнение директрисы. Построим параболу и директрису.

х =–1

О

х

 

Решение. Имеем , поэтому p = 2. Тогда уравнение директрисы имеет вид , фокус F (1;0)

Дата добавления: 2014-01-04