Отрезках

По уравнению (6.4) легко представить себе расположение плоскости относительно системы координат, так как ось Ох она пересекает в точке (а;0;0), ось Оу – в точке (0; b;0),

ось Oz – в точке (0;0; с).

Если точка лежит на плоскости (6.1), то

. (6.5)

Вычитая (6.5) из (6.1), получим

– (6.6)

уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Получим теперь уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , и . Пусть точка тоже лежит в искомой плоскости. Тогда векторы , и лежат в этой плоскости, т.е компланарны. Из условия их компланарности получаем уравнение 0 или

. (6.7)

Это и есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Найдем теперь угол между плоскостями и . Поскольку векторы и перпендикулярны данным плоскостям, то угол между ними равен двугранному углу между плоскостями. Поэтому

. (6.8)

Если выражение в (6.8) положительное, то - острый угол, если отрицательное, то оно соответствует тупому двугранному углу .

Из формулы (6.8) получаем условие перпендикулярности двух плоскостей

. (6.9)

Условие параллельности двух плоскостей получается из условия коллинеарности векторов и :

. (6.10)

Если , то плоскости совпадают, так как их уравнения отличаются постоянным множителем.

Пример 1. Уравнения и определяют пару параллельных плоскостей, а уравнения и - пару совпадающих плоскостей.

Отметим без доказательства, что расстояние от точки до плоскости, заданной уравнением , находится по формуле

. (6.11)

Пример 2. Расстояние d от точки до плоскости равно

.

Рассмотрим теперь прямую в пространстве. Совершенно так же, как на плоскости, выводится уравнение прямой, проходящей через данную точку и параллельной данному вектору . Если точка М (х, у, z) лежит на прямой, то вектор тоже лежит на этой прямой и коллинеарен данному вектору . Поэтому координаты этих векторов пропорциональны, т.е.

- (6.12)

канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку . Вектор - направляющий вектор прямой.

Обозначив общее значение дробей в уравнении (6.12) буквой t, т.е. положив = t, получим

- (6.13)

параметрические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку в направлении вектора . Параметр .

С помощью канонических уравнений прямой (6.12) можно получить уравнение прямой, проходящей через две данные точки и . Вектор лежит на искомой прямой, поэтому может рассматриваться как направляющий вектор прямой, проходящей через точку . Тогда по формуле (6.12) получаем

- (6.14)

искомое уравнение прямой.

Известно, что пересечением двух плоскостей в пространстве является прямая. Поэтому прямая в пространстве может быть задана системой уравнений

(6.15)

При этом предполагается, что плоскости и не совпадают и не параллельны.

Пусть - угол между прямой (6.12) и плоскостью (6.1). Тогда угол между векторами (направляющий вектор прямой) и (нормальный вектор плоскости) равен . Поэтому

. (6.16)

Из формулы (6.16) получаем условия параллельности

(6.17)

и перпендикулярности прямой и плоскости . (6.18)

Глава III. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Дата добавления: 2014-01-04