Множества. Операции над множествами. Числовые множества

Определение множества не дается. Это понятие первичное, неопределяемое. Необходимость таких понятий вызвана тем, что любое понятие определяется через какое-то другое понятие, введенное ранее, которое в свою очередь определяется через понятие, введенное еще раньше. Ясно, что продолжать этот процесс бесконечно мы не можем, поэтому надо ввести неопределяемое понятие. В школе такими понятиями были, кроме понятия множества, понятия точки, прямой и плоскости. Понятие множества поясняется на примерах. Множество считается заданным, если указаны элементы, из которых оно состоит.

Например, множество натуральных чисел N = {1;2;…; n;…}, множество А = {2;5;7}, множество С студентов группы ФМО–11, и т.д.

Тот факт, что число 2 принадлежит множеству А, записывается короче так: , а то, что стол не принадлежит множеству А, следующим образом: стол , или, например, .

Определение 1. Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом ø.

Конечное множество можно задать перечислением всех его элементов. Например, множество студентов группы ФМО–11 задается списком в журнале, множество А задано перечислением всех его элементов – чисел 2, 5 и 7. Множество N натуральных чисел – бесконечное.

Определение 2. Множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Например, равны множества А = {2;5;7} и В = {5;7;2}. Все пустые множества равны между собой.

Определение 3. Множество называется подмножеством (или частью) множества , если из того, что элемент следует, что : . Записывается это так: .

Например, . Пустое множество – часть любого множества.

Множества могут быть и несравнимыми. Таковы, например, множества А и С, так как ни одно из этих множеств не является подмножеством другого множества.

Определение 4. Объединением двух множеств и называется множество Е, состоящее из всех элементов множеств и и только из них: .

Например, если , то , .

Определение 5. Пересечением множеств и называется множество Е, состоящее из всех общих элементов множеств и : .

Например, для рассмотренных выше множеств и , .

Определения 4 и 5 переносятся на любое конечное число множеств. Например, , где . С помощью метода математической индукции эти определения можно перенести и на бесконечное число множеств.

Определение 6. Разностью множеств и называется множество вех элементов множества , не принадлежащих множеству : .

Например, {1;2;3;4}\{4;5;6}={1;2;3}, А \ N = ø.

В математическом анализе мы будем иметь дело, в основном, с множествами

действительных чисел. Из школьного курса математики известны множества натуральных чисел N = {1;2;…; n;…}, целых чисел , рациональных чисел , иррациональных чисел I. Известно также, что множество всех действительных чисел R = . В высшей математике имеютсястрогие теории действительных чисел, например, теория Дедекинда (1831-1916, немецкий математик), из которой получаются свойства множества R действительных чисел, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем: упорядоченность по величине, плотность, усиленная плотность, непрерывность (или полнота).

Упорядоченность по величине множества R: для любых двух действительных чисел и имеет место одно и только одно из соотношений: .

Плотность множества R: между любыми двумя различными действительными числами содержится действительное число.

Усиленная плотность множества R: между любыми двумя различными действительными числами содержится рациональное число.

Непрерывность (полнота) множества R: для любой системы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, принадлежащее всем отрезкам данной системы. Если длины вложенных отрезков стремятся к нулю при , то существует единственная точка, принадлежащая всем этим отрезкам. Это свойство называется также принципом вложенных отрезков Кантора (Георг Кантор (1845-1918), немецкий математик).

При аксиоматическом определении множества действительных чисел свойства упорядоченности по величине и непрерывности (полноты) включаются в число аксиом.

Действительные числа изображаются, как известно, точками числовой прямой, причем каждому действительному числу соответствует одна точка числовой прямой и обратно, каждой точке числовой прямой соответствует только одно действительное число. Как говорят, установлено взаимно-однозначное соответствие между множеством точек числовой прямой и множеством действительных чисел.

Из школьного курса математики известны также некоторые специальные числовые множества: - интервал (открытый промежуток), - отрезок (замкнутый промежуток), =- полуинтервалы (открытый справа и слева соответственно), - вся числовая прямая, - лучи. Нам потребуется в дальнейшем еще понятие окрестности точки.

Определение 7. Если а – некоторое действительное число, - любое положительное действительное число, то интервал называется - окрестностью точки а. Точка а называется центром окрестности, а число - радиусом окрестности. Множество называется проколотой - окрестностью точки а.

Определение 8. Множество Е действительных чисел называется ограниченным сверху (соответственно, ограниченным снизу), если существует число М, такое, что для любого имеет место неравенство (соответственно, ). Число М называется верхней (соответственно, нижней) границей (или гранью) множества Е. Множество Е называется ограниченным, если существуют такие числа и , что для любого числа имеет место двойное неравенство .

Например, множество правильных дробей ограничено сверху числом 1, множество N натуральных чисел ограничено снизу числом 1, множество ограничено, так как .

Заметим, что если М – верхняя граница непустого ограниченного сверху числового множества Е, то любое число, большее М, также будет его верхней границей, то есть у Е есть бесконечное множество верхних границ. Из всех верхних границ множества Е наибольший интерес представляет его наименьшая верхняя граница.

Определение 9. Наименьшая из верхних границ множества Е называется его точной верхней границей (или точной верхней гранью) и обозначается sup E ( от латинского слова supremum – наивысшее).

Аналогично вводится понятие точной нижней границы множества Е, ограниченного снизу.

Определение 10. Наибольшая из нижних границ множества Е называется его точной нижней границей (или точной нижней гранью) и обозначается inf E ( от латинского слова infimum – наинизшее).

Имеет место

Теорема. Всякое непустое и ограниченное сверху (соответственно, снизу) числовое множество Е имеет точную верхнюю (соответственно, нижнюю) границу.

Без доказательства.

Дата добавления: 2014-01-04