КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Монотонные последовательности. Число е
Определение 1. Последовательность называется убывающей (невозрастающей), если для всех выполняется неравенство . Определение 2. Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если для всех выполняется неравенство . Определение 3. Убывающие, невозрастающие, возрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными последовательностями, убывающие и возрастающие последовательности называют также строго монотонными последовательностями. Очевидно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, невозрастающая последовательность ограничена сверху. Поэтому всякая монотонная последовательность заведомо ограничена с одной стороны. Пример 1. Последовательность возрастает, не убывает, убывает, не возрастает, – немонотонная последовательность. Для монотонных последовательностей важную роль играет следующая Теорема 1. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится. Без доказательства. Замечание. Теорему 1 можно сформулировать иначе. Теорема 2. Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена. Достаточность установлена в теореме 1, необходимость – в теореме 2 § 4. Условие монотонности не является необходимым для сходимости последовательности, так как сходящаяся последовательность не обязательно монотонна. Например, последовательность не монотонная, однако сходится к нулю. Рассмотрим теперь последовательность . Как она себя ведет? Основание степени , поэтому ? С другой стороны, , а , поэтому ? Или предел не существует? Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим вспомогательную последовательность . Докажем, что она убывает и ограничена снизу. При этом нам будет нужна Лемма. Если , то для всех натуральных значений n имеем (неравенство Бернулли). Неравенство Бернулли мы доказали на практических занятиях, когда изучали метод математической индукции. Покажем, что последовательность убывает. Имеем ׀неравенство Бернулли׀,а это и означает, что последовательность убывает. Ограниченность снизу следует из неравенства ׀неравенство Бернулли׀для всех натуральных значений n. По теореме 1 существует , который обозначают буквой е. Поэтому . Число е иррационально и трансцендентно, е = 2,718281828…. Оно является, как известно, основанием натуральных логарифмов. Заметим, что неравенство Бернулли можно использовать для доказательства того, что при . Действительно, если , то . Тогда, по неравенству Бернулли, при . Отсюда при имеем , то есть при . Пример 2. Имеем . Пример 3. . Заметим, что во всех этих примерах основание стремится к 1, а показатель степени – к , то есть имеет место неопределенность вида . Неопределенность такого вида, как мы видели, раскрывается с помощью замечательного предела .
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 999; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |