Числовой ряд. Сходимость числового ряда

Рассмотрим применение понятия предела числовой последовательности в теории рядов.

Определение 1. Пусть дана бесконечная числовая последовательность . Составленный из членов этой последовательности символ

(6.1)

называется числовым рядом. Числа называются членами ряда, 1-й член ряда, 2-й член ряда, и т.д., общий член ряда.

Числовой ряд мы будем обычно называть просто рядом, так как других рядов рассматривать в этом параграфе не будем. Часто ряд записывают в виде , где указано, что индекс n пробегает множество всех натуральных чисел 1, 2, …, n, ….

Определение 2. Сумму n первых членов ряда

(6.2)

называют n-йчастичной суммой ряда (6.1). Если последовательность частичных сумм имеет конечный предел , то ряд (6.1) называется сходящимся, а предел S называется суммой ряда (6.1). Если же последовательность частичных сумм не имеет конечного предела, то ряд (6.1) называется расходящимся.

Пример 1. Рассмотрим геометрическую прогрессию и составим из ее членов ряд

. (6.3)

Выясним, при каких значениях q этот ряд сходится, и найдем его сумму.

Решение. Получим более компактную формулу для n -й частичной суммы ряда (6.3). Имеем . Умножим это равенство на q и вычтем из него полученное равенство: , . При отсюда получаем формулу

. (6.4)

Если , то , поэтому , то есть в случае, когда , ряд (6.3) сходится и его сумма .

Если же , то , поэтому , то есть в этом случае ряд (6.3) расходится.

Если , то поэтому предел последовательности не существует и ряд (6.3) расходится.

Если , то при , то есть и в этом случае ряд (6.3) расходится.

Таким образом, ряд (6.3), составленный из членов геометрической прогрессии (его

часто называют геометрическим рядом) сходится при и расходится при ,

причем при .

Исследовать ряды на сходимость с помощью предела последовательности частичных сумм неудобно, поэтому в теории рядов имеются признаки сходимости числовых рядов. Установим сначала необходимое условие сходимости ряда.

Теорема 1. Если ряд (6.1) сходится, то .

Доказательство. Пусть ряд (6.1) сходится и S – его сумма. Тогда , поэтому . Теорема доказана.

Таким образом, условие является необходимым для сходимости ряда (6.1).

Следствие. Если общий член ряда (6.1) при неограниченном возрастании его номера имеет предел, отличный от нуля, или не имеет предела, то этот ряд расходится.

Пример 2. Ряд расходится, так как , то есть не выполняется необходимое условие сходимости ряда.

Заметим, что условие является необходимым, но не достаточным для сходимости ряда (6.1), то есть имеются ряды, общий член которых стремится к нулю, но ряды расходятся. Классическим примером такого ряда является гармонический ряд

.

Покажем, что этот ряд расходится, хотя . Для этого рассмотрим частичные суммы и . Если бы гармонический ряд сходился, то , откуда . Но , поэтому . Следовательно, гармонический ряд расходится.

В теории рядов имеется много достаточных признаков сходимости рядов. Рассмотрим для примера без доказательства два признака, чаще всего применяемых для исследования сходимости положительных рядов, то есть рядов с неотрицательными членами.

Теорема 2 (признак сходимости Даламбера). Пусть дан ряд , причем все . Если существует , то при ряд сходится, а при расходится.

Теорема 3 (признак сходимости Коши). Пусть дан ряд с положительными членами. Если существует , то при ряд сходится, а при расходится.

Замечание. Если в теореме 2 , а в теореме 3 , то эти признаки сходимости не дают ответа на вопрос, сходится ряд или расходится. В этом случае применяются другие признаки сходимости.

Даламбер (Jean le Rond dAlembert, 1717-1783), Коши (Augustin Cauchy, 1789-1857) – французские математики.

Пример 3. Исследуем на сходимость ряды а) ; б) .

Решение. а) Применим признак сходимости Коши. Имеем , поэтому ряд расходится по признаку Коши.

б) Применим признак сходимости Даламбера. Имеем

=, поэтому ряд сходится по признаку Даламбера.

Дата добавления: 2014-01-04