Потенциальная энергия упруго деформированного стержня равна 9 страница

, (9.2)

т.е. разность давлений на верхнее и нижнее основание цилиндра равна гидростатическому давлению столба жидкости между этими основаниями.

Пусть теперь цилиндр заполнен другой жидкостью, но не смешивающейся с жидкостью в сосуде или каким-нибудь твердым телом. Предположим, что плотность введенного твердого или жидкого тела равна . Силы, действующие на основания по-прежнему равны и , но или где – вес введенного тела.

Кажущийся вес тела

Но – вес, например, воды в объеме тела. Поэтому кажущийся вес тела есть . Следовательно, погруженное в жидкость тело теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость или выталкивающая сила равна весу жидкости, вытесненной телом и направленной вертикально вверх (Закон Архимеда).

Если , то тело тонет. Если <(погруженное тело легче воды), то оно всплывает.

3.Гидродинамика

Гидродинамика представляет собой раздел механики сплошных сред, в котором изучается движение несжимаемых жидкостей и взаимодействие несжимаемых жидкостей с твердыми телами. Жидкость, плотность которой всюду одинакова и изменяться не может, называется несжимаемой. Например,при повышении давления от до Па плотность воды увеличивается всего лишь на 0,5 %. В случаях, когда силы внутреннего трения при движении жидкости малы по сравнению с другими действующими на неё силами, жидкость практически можно считать невязкой. Воображаемая жидкость, совершенно не обладающая вязкостью, называется идеальной. Например, при температуре выше 0єС многие реальные жидкости (эфир, ацетон, спирт, вода, ртуть) обладают малой вязкостью и потому их можно рассматривать как идеальные жидкости.

4. Описание движения жидкостей.
Уравнение неразрывности струи

Возможны два способа описания движения жидкостей. Первый способ заключается в указании положений и скоростей всех частиц жидкости для каждого момента времени. Такой способ описания разрабатывался французским математиком и механиком Жозеф Луи Лагранжем (1736-1813) и называется способом Лагранжа. Однако проще следить не за частицами жидкости, а за отдельными точками пространства и отмечать скорость, с которой проходят через каждую точку отдельные частицы жидкости. При таком способе движение жидкости характеризуется совокупностью функций скорости , определенных для всех точек пространства. Этот способ называется методом Эйлера (Леонард Эйлер (1707-1783) – математик, механик, физик и астроном, по происхождению швейцарец, в 1727-1741 гг., 1766-1783 гг. жил и работал в России).

Совокупность векторов , заданных для всех точек пространства, образует так называемое поле вектора скорости. Это поле можно изобразить с помощью линий тока. Линии тока проводят так, чтобы густота их была пропорциональна модулю скорости в данном месте. Тогда по картине линий тока можно судить и о направлении, и о модуле вектора в разных точках пространства: там, где скорость больше, линии тока будут гуще и, наоборот, где скорость меньше, линии тока будут реже (рис.9.2). Например, в точке А густота линий, а следовательно и модуль скорости больше, чем в точке В.

Рис.9.2. Линии тока проводятся так, чтобы вектор скорости в каждой точке пространства был направлен по касательной к соответствующей линии

Модуль и направление вектора в каждой точке могут меняться со временем. Поэтому и картина линий тока может непрерывно меняться. Если вектор скорости в каждой точке пространства остается постоянным, то течение называется установившимся или стационарным (или установившимся). При стационарном течении:

– любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одним тем же значением скорости;

– картина линий тока остается неизменным;

– линии тока совпадают с траекториями частиц.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Вектор касается поверхности трубки тока в каждой её точке. Следовательно, частицы жидкости во время движения не пересекают стенок трубки тока.

Рассмотрим установившееся движение идеальной несжимаемой жидкости. Выделим в трубке тока две перпендикулярные скорости сечения: (где скорость течения равна ) и (где скорость течения равна ) (рис.9.3).

Рис.9.3

Так как жидкость несжимаема, то за одно и то же время через эти сечения пройдут равные объемы жидкости, а следовательно, и одинаковые массы жидкости:, где – перемещения сечений , или ,т.е. .

Так как это равенство справедливо для любой пары произвольно взятых сечений, имеем

(9.4)

Следовательно, для несжимаемой жидкости при стационарном течении произведение площади поперечной трубки на скорость течения жидкости в любом сечении трубки тока есть величина постоянная.

Соотношение (9.4) называется уравнением неразрывности струи. Оно справедливо и к реальным жидкостям, и даже к газам в том случае, когда их сжимаемостью можно пренебречь. Это уравнение показывает, что:

– в меньших сечениях, где скорость больше, и линии тока будут гуще;

– при изменяющемся сечении трубки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением.

Формула (9.4) справедлива и для всякой реальной трубы, для русла реки и т.п. Например, скорость течения на узких участках речного русла больше, чем на широких и глубоких; скорость воды в струе, вырывающейся из брандспойта, больше, чем в шланге и т.п.

5. Уравнение Бернулли

Рассмотрим наклонную трубку переменного сечения (или реальную трубу), по которой движется идеальная несжимаемая жидкость в направлении справа налево. Мысленно выделим область трубки, ограниченную сечениями, и в которых скорости течения равны соответственно и (рис. 9.5). Пусть и – давления, оказываемые на сечения жидкостью вне элемента, и – отмеряемые от некоторого горизонтального уровня высоты, на которых находятся сечения, – плотность жидкости.

Рис. 9.4

Определим изменение полной энергии, происходящее в выделенной области за малый промежуток времени .

Полная энергия выделенного элемента трубки складывается из кинетической энергии и из потенциальной энергии, обусловленной силами тяжести. При течении жидкости эта энергия изменяется. Согласно закону сохранения энергии изменение энергии рассматриваемого элемента должно быть равно работе внешних сил, действующих на этот элемент.

За малый промежуток времени рассматриваемый элемент жидкости 1-2 переместится по трубке. Его границы займут положения 1ґ и 2ґ. Сечение 1 переместится на расстояние , сечение 2 – на расстояние . Так как поток стационарный, то энергия части элемента между сечениями 1ґ и 2ґ остается неизменной. Объем жидкости, прошедший за время через сечение 1, равен Масса этой части жидкости . Аналогично, часть жидкости, находящаяся между сечениями 2 и 2ґ, имеет объем и массу . Согласно уравнению неразрывности и, в случае несжимаемой жидкости, .

Потенциальная энергия частиц жидкости, находящаяся между сечениями 1 и 1ґ, равна .

Кинетическая энергия этих частиц .

Аналогично, потенциальная и кинетическая энергии частиц жидкости, находящиеся между сечениями 2 и 2ґ, равны и .

Тогда изменение полной энергии всего рассматриваемого элемента жидкости будет

(9.5)

Силы давления на стенки трубки тока перпендикулярны в каждой точке направлению перемещения жидкости, вследствие чего работы не совершают.

В соответствии с законом сохранения энергии, найденная величина энергии должна равняться работе внешних сил (давления) по перемещению массы :

(9.6)

Определим эту работу. Внешняя сила давления совершает работу по перемещению втекающей массы на пути , в то же время вытекающая масса совершает работу против внешней силы давления на пути . Поэтому искомая работа .

Так как , имеем

(9.7)

Приравнивая выражения (9.5) и (9.7), сокращая на и перенося члены с одинаковыми индексами в одну часть равенства, получим

(9.8)

Так как сечения 1 и 2 были выбраны произвольно, то для любого сечения данной трубки тока должно быть

(9.9)

Это уравнение называется уравнением Бернулли (выведено в 1738 г.) для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости.

Первое слагаемое левой части этого уравнения представляет собой удельную кинетическую энергию жидкости, второе – удельную потенциальную энергию жидкости в поле силы тяжести, третье – удельную энергию жидкости, обусловленную силами давления. Следовательно, уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии (удельной) и формулируется так:

при установившемся движении идеальной несжимаемой жидкости сумма удельной энергии давления и кинетической и потенциальной удельных энергий остается постоянной величиной на любом поперечном сечении потока.

Как видно из уравнения (9.9), все члены его левой части можно рассматривать как величины давления. Величину называют статическим давлением, величину – динамическим давлением, величину – гидравлическим давлением. Следовательно, уравнению Бернулли можно дать ещё такую формулировку:

в установившемся потоке идеальной несжимаемой жидкости полное давление, слагающееся из динамического, гидравлического и статического давлений, постоянно на любом поперечном сечении потока.

Уравнение Бернулли является одним из основных законов механики движения жидкостей и газов, имеющим большое прикладное значение. Приведем несколько примеров.

1. Пусть скорости частиц жидкости в сечениях 1 и 2 трубки тока равны между собой. Тогда из уравнений (9.9) следует, что для этих сечений , т.е. разность давлений как и в покоящейся жидкости определяется разностью высот.

2. Для горизонтальной трубки тока уравнение Бернулли принимает вид: .

Из уравнений Бернулли и неразрывности следует, что в местах сужения трубопровода скорость течения жидкости возрастает, а давление понижается.

Поток воздуха проходит по трубке с переменным сечением. У открытого широкого конца трубки давление выходящего воздуха становится равным атмосферному. В более узких сечениях давление меньше атмосферного. Поэтому жидкость из сосуда движется по вертикальной трубке. Это явление используется в водо- и пароструйных насосах, пульверизаторах, опрыскивателях сельскохозяйственных растений, ингаляторе и других распылителях жидкости и устройствах.

3. Гидротурбина работает за счет большого давления жидкости (но имеющего малую скорость), падающего по суживающемуся трубопроводу через сопло на лопатки рабочего колеса. При этом потенциальная энергия давления воды переходит в узком трубопроводе и сопле в кинетическую энергию, за счет которой рабочее колесо приводится во вращение.

Аналогичным образом работает и газотурбина.

4. Гидротаран. Вода движется от плотины по наклонному трубопроводу. В конце трубопровода имеется подвижная заслонка, которая может периодически быстро перекрывать трубопровод.

При каждом перекрытии потока динамическое давление в нем внезапно падает до нуля, а статическое давление резко возрастает, перегоняя часть воды по вертикальной трубе в водонапорный бак. Это устройство используется для орошения земель, водоснабжения животноводческих ферм и т.д.

5. За счет разности давлений над и под крылом, создается подъемная сила самолета. При этом вокруг движущегося крыла возникает циркуляция воздуха, направленная по часовой стрелке. Над крылом скорости циркуляции и встречного воздушного потока складываются, под крылом – вычитаются. Поэтому относительная скорость движения воздуха над крылом превышает относительную скорость под крылом.

6. Аэрация почвы. Представим себе вспаханное поле, где валы чередуются с бороздами. Пусть ветер дует перпендикулярно к направлению борозд. Ясно, что наличие неровностей скажется на характере воздушного потока: вблизи земли линии тока будут искривлены и выровняются лишь на некоторой высоте над землей. Поэтому приземный слой воздуха является своеобразной трубкой тока переменного сечения, ограниченная снизу поверхностью земли, а сверху – ближайшей горизонтальной поверхностью, образованной невозмущенными линиями тока. Тогда в соответствии с уравнениями неразрывности и Бернулли давление воздуха над бороздами будет больше, чем над валами. Поэтому в поверхностном слое почвы возникает движение почвенного воздуха, направленное от оснований борозд к вершинам валов, что обеспечивает газообмен между почвой и атмосферой. Это явление и называется аэрацией почвы. Аэрация обогащает почвенный воздух кислородом, а приземный воздух – углекислотой, тем самым создавая благоприятные условия для развития растений.

6. Вязкость

Идеальная жидкость, т.е. жидкость без внутреннего трения – абстракция. Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуще внутреннее трение, называемое также вязкостью. Вязкость проявляется, в частности, в том, что возникшее в жидкости или газе движение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается. Примером может служить движение жидкости в стакане после того, как её перестают размешивать ложечкой.

Для выяснения закономерностей, которым обладают силы внутреннего трения, рассмотрим следующий опыт. В жидкость погружены две параллельные друг другу пластины (рис. 9.5), линейные размеры которых значительно превышают расстояние между ними. Нижняя пластина удерживается на месте, верхняя приводится в движение с некоторой скоростью . Опыт показывает, что для перемещения верхней пластины с этой скоростью необходимо действовать на неё с некоторой определенной постоянной по модулю силой . Так как пластина не получает ускорения, то действие этой силы должно уравновешиваться равной ей по модулю противоположно направленной силой, которая и есть сила внутреннего трения, действующая на пластину при её движении в жидкости. Обозначим эту силу через .

Рис. 9.5.

Опыт показывает, что

, (9.10)

где – площадь пластин, – расстояние между ними, – скорость пластины, а – коэффициент пропорциональности, зависящий от природы и состояния (например, от температуры) жидкости и называемый коэффициентом внутреннего трения или просто вязкостью жидкости (газа).

Нижняя пластина при движении верхней также подвергается действию силы , равной по модулю . Для того чтобы нижняя пластина оставалась неподвижной, силу необходимо уравновесить с помощью силы .

Таким образом, при движении двух погруженных в жидкость пластин относительно друг друга между ними возникает взаимодействие, характеризуемое силой (9.10). Воздействие пластин друг на друга осуществляется через жидкость, заключенную между пластинами, передаваясь от одного слоя жидкости к другому. Если исследовать скорость частиц жидкости в разных слоях, то оказывается, что она изменяется в направлении z, перпендикулярном к пластинам, и по линейному закону

(9.11)

Частицы жидкости, непосредственно соприкасающиеся с пластинами, как бы прилипают к ним и имеют такую же скорость, как и сами пластины. Согласно формуле (9.11)

(9.12)

Тогда модуль силы внутреннего трения определится по формуле

(9.13)

Величина показывает, как быстро изменяется скорость в направлении оси z и представляет собой модуль градиента скорости.

Единицей вязкости в СИ служит паскаль-секунда (Па·с). Это такая вязкость, при которой градиент скорости с модулем равным 1 м/с на 1 м приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1 Н на 1 м² поверхности касания слоев.

В СГС-системе единицей вязкости является пуаз (Пз), причем 1 Па·с = 10 Пз.

Коэффициент вязкости зависит от температуры. У жидкостей коэффициент вязкости уменьшается с повышением температуры. У газов, напротив, коэффициент вязкости с температурой растет.

7. Ламинарное и турбулентное течения

Наблюдаются два вида течения жидкости (или газа): ламинарное и турбулентное. Ламинарное течение – это течение, при котором жидкость как бы разделяется на слои, которые скользят относительно друг друга не перемешиваясь. Ламинарное течение стационарно.

При увеличении скорости или поперечных размеров потока характер течения существенным образом изменяется. Возникает энергичное перемешивание жидкости. Такое течение называется турбулентным. При этом течение нестационарно, так как скорость частиц изменяется беспорядочным образом. Если в турбулентный поток ввести окрашенную струйку, то уже на небольшом расстоянии от места введения окрашенная жидкость равномерно распределяется по всему сечению потока.

Английский физик Рейнольдс установил, что характер течения зависит от значения безразмерной величины

, (9.14)

где ρ – плотность жидкости (или газа), v – средняя скорость потока (по сечению трубы), η – коэффициент вязкости жидкости, l – характерный для поперечного сечения размер, например, сторона квадрата при квадратном сечении, радиус или диаметр при круглом сечении и т.д.

Величина (9.14) называется числом Рейнольдса. При малых значениях числа Рейнольдса наблюдается ламинарное течение. Начиная с некоторого определенного значения , называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Практически критическое число Рейнольдса равно примерно 1000.

В число Рейнольдса входят две величины, зависящие от свойств жидкости: плотность и коэффициент вязкости. Отношение называется кинематической вязкостью. В отличие от неё величина называется динамической вязкостью. Используя кинематическую вязкость, числу Рейнольдса можно придать следующий вид: .

Число Рейнольдса служит важным параметром моделирования процессов, в частности при обтекании тел.

8. Течение вязкой жидкости в круглой трубе. Формула Пуазейля

Пусть по горизонтальной трубе радиуса течет стационарный поток жидкости. Рассмотрим отрезок этой трубы длиной (рис. 9.6).

Рис. 9.6.

Частицы жидкости движутся вдоль трубы с разной скоростью: у самой стенки они прилипают к ней и имеют скорость равной нулю. По мере удаления от стенок скорость увеличивается и достигает максимального значения на оси трубы. Таким образом, величина скорости частиц жидкости является функцией расстояния от оси трубы.

Для доказательства этого утверждения выделим воображаемый цилиндрический объем жидкости радиуса . Жидкость, находящаяся внутри цилиндра, подвергается действию сил со стороны окружающей жидкости. Обозначим через – давление жидкости у основания 1, – давление жидкости у основания 2, – площадь оснований. Так как движение частиц жидкости происходит вдоль трубы, рассмотрим силы, действующие лишь в этом направлении. На основание цилиндра действуют силы давления, величины которых и .

На боковую поверхность действует сила внутреннего трения . Так как скорость жидкости внутри цилиндра больше, чем вне его, то сила направлена в сторону, противоположную движению жидкости. Величина этой силы определяется по формуле .

Здесь знак минус поставлен потому, что скорость убывает с расстоянием от оси трубы, следовательно, отрицательна и

При стационарном течении в трубе постоянного сечения скорости всех частиц жидкости остаются неизменными. Следовательно, должна быть равна нулю сумма проекций на направление оси трубы всех сил, действующих на цилиндр, т.е. .

Здесь за положительное направление принято направление движения жидкости. Подставив сюда выражения для , найдем

Разделив переменные, получим уравнение

Интегрирование дает

Постоянную интегрирования С можно найти из условия, что на стенке трубы, т.е. при скорость частиц должна обращаться в нуль. Это дает

Дата добавления: 2014-01-04