Потенциальная энергия упруго деформированного стержня равна 10 страница

Окончательно имеем

Отсюда видно, что при ламинарном течении скорость в зависимости от r меняется по параболическому закону и достигает максимума на оси трубы при (как это и предполагалось ранее) (рис. 9.7).

Рис.9.7. Профиль скоростей при ламинарном течении жидкости в круглой трубе

При турбулентном течении остается постоянной средняя скорость в каждой точке сечения трубы (рис.9.8). Вблизи стенок трубы скорость изменяется гораздо сильнее, чем при ламинарном течении, а в остальной части сечения скорость изменяется меньше.

Рис.9.8. Профиль скоростей при турбулентном течении жидкости в круглой трубе

Полагая течение ламинарным, вычислим поток жидкости Q, т.е. количество жидкости m, протекающей через поперечное сечение трубы за единицу времени t:

Разобьем поперечное сечение трубы на кольца ширины dr (рис. 9.9).

Рис.9.9.

Через кольцо радиуса r пройдет за секунду объем жидкости, равный произведению плотности жидкости на площадь кольца и на скорость течения в точках, находящихся на расстоянии r от оси трубы.

Полный расход Q через все поперечное сечение трубы определяется суммой расходов через все кольцевые площадки, на которые может быть разбито поперечное сечение. Он равен интегралу от dQ в пределах от r=0 до r=R:

Эта формула называется формулой Пуазейля.

Из этой формулы следует, что поток жидкости сильно зависит от радиуса трубы. Кроме того, Q пропорционален отношению , т.е. перепаду давления на единице длины трубы, а также обратно пропорционален вязкости жидкости .

Формула Пуазейля используется для экспериментального определения вязкости жидкостей и газов. Для этого жидкость или газ пропускают через трубку известного радиуса, измеряют перепад давления и поток Q. Затем на основании известных данных вычисляют .

9. Движение тел в жидкостях и газах. Закон Стокса

При движении тела в жидкости или газе на него действуют две силы: сила , направленная в сторону, противоположную движению тела, а вторая , перпендикулярная к этому направлению. Составляющие и называются соответственно лобовым сопротивлением и подъемной силой.

Ясно, что идеальная жидкость не оказывает движению тела никакого сопротивления.

Можно показать, что в несжимаемой идеальной жидкости равномерное движение тела произвольной формы должно было бы происходить без лобового сопротивления. Этот результат называется парадоксом Даламбера.

Учет вязкости жидкости существенно меняет картину взаимодействия тела с потоком. В этом случае очень тонкий слой жидкости прилипает к поверхности тела и движется с ним как одно целое, увлекая за собой из-за трения последующие слои. По мере удаления от поверхности тела скорость слоев становится все меньше и, наконец, на некотором расстоянии от поверхности оказывается практически не возмущенной движением тела. Таким образом, тело оказывается окруженным слоем жидкости, в котором имеется градиент скорости. Этот слой называется пограничным. В нем действуют силы трения, которые и приводят к возникновению лобового сопротивления.

Наличие пограничного слоя существенно меняет характер обтекания тела жидкостью. Полное обтекание тела становится невозможным. Действие сил трения в поверхностном слое приводит к тому, что поток отрывается от поверхности тела, в результате чего позади тела возникают вихри. Вихри уносятся потоком и постепенно затухают вследствие трения. При этом энергия вихрей расходуется на нагревание жидкости. Давление в образующейся за телом вихревой области оказывается пониженным. Поэтому результирующая сил давления будет отлична от нуля. Это давление в свою очередь обуславливает лобовое сопротивление.

Таким образом, лобовое сопротивление складывается из сопротивления трения и сопротивления давления.

При малых числах Рейнольдса сопротивление среды обусловлено практически только силами трения. Стокс установил, что сила сопротивления в этом случае пропорциональна коэффициенту динамической вязкости , скорости движения тела относительно жидкости и характерному размеру тела : ~. Коэффициент пропорциональности зависит от формы тела. Чаще всего его определяют экспериментальным путем. Вычисления Стокса показали, что для шара коэффициент пропорциональности оказывается равным . Тогда сила лобового сопротивления для шара радиуса при <<1 выражается формулой .

Эта формула известна под названием закона Стокса. Она может быть использована для нахождения вязкости.

При больших числах Рейнольдса влияние вязкости существенно лишь в тонком пограничном слое жидкости, прилегающем к поверхности тела. Как уже было отмечено, это влияние приводит к образованию вихрей сзади тела. Перед телом частицы жидкости в набегающем потоке практически останавливаются, движутся они только за телом. Поэтому, согласно уравнению Бернулли, создается разность давлений, действующих на переднюю и заднюю р поверхности тела. Она равна .

Таким образом, сила лобового сопротивления определяется силой сопротивления давления: .

Для тел произвольной формы сила лобового сопротивления представляет вид , где – наибольшая площадь поперечного сечения тела, С – коэффициент лобового сопротивления.

Величина С зависит от формы тела и числа Рейнольдса. Величина С уменьшается, если уменьшить площадь поперечного сечения тела в том месте, где происходит отрыв потока. Обтекаемые тела испытывают значительно меньшее сопротивление, чем тела с тупой задней частью, так как у первых отрыв потока происходит в задней узкой части тела.

10. Истечение жидкости из отверстия

Рассмотрим истечение идеальной несжимаемой жидкости из небольшого отверстия в широком открытом сосуде (рис. 9.10).

Рис. 9.10.

В жидкости мысленно выделим трубку тока, сечениями которой являются открытая поверхность жидкости и сечение струи при выходе из отверстия (если не принять специальных мер, то сечение струи будет меньше отверстия). Для всех точек каждого из этих сечений скорость жидкости и высоту h над некоторым исходным уровнем можно считать одинаковыми. Поэтому к данным сечениям можно применить теорему Бернулли. Давления и в обоих сечениях одинаковы и равны атмосферному. Скоростью перемещения открытой поверхности жидкости ввиду ее малости можно пренебречь. Обозначим через v – скорость жидкости в сечении(скорость истечения из отверстия). Поэтому уравнение Бернулли в данном случае упрощается следующим образом: .

Сократив на плотность жидкости , можно написать, что

(9.15)

где – высота открытой поверхности над отверстием.

Формула (9.15) называется формулой Торричелли. Из нее следует, что скорость истечения жидкости из отверстия, находящегося на глубине под открытой поверхностью жидкости, совпадет со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с высоты (в случае, если сопротивлением воздуха можно пренебречь). Этот результат получен в предположении, что жидкость идеальна. Для реальных жидкостей скорость истечения будет меньше, причем тем сильнее отличатся от значения, определяемого формулой Торричелли, чем больше внутреннее трение в жидкости. Например, глицерин будет вытекать из сосуда медленнее, чем вода.

Контрольные вопросы

1. Что такое давление в жидкости? Давление – величина векторная или скалярная? Какова единица измерения давления в СИ?

2. Сформулируйте и поясните законы Паскаля и Архимеда?

3. Что называют линией тока? трубкой тока?

4. Что характерно для установившегося течения жидкости?

5. Каков физический смысл и как вывести уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости?

6. Какой закон выражает уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости? Выведите это уравнение.

7. Что такое градиент скорости?

8. Каков физический смысл коэффициента динамической вязкости?

9. Какое течение называют ламинарным? Турбулентным? Что характеризует число Рейнольдса?

10. Поясните практическое применение методов Стокса и Пуазейля?

11. Каковы причины возникновения лобового сопротивления тела, движущегося в жидкости? Может ли оно быть равным нулю?

12. Как объяснить возникновение подъемной силы?

13. Найти выражение потенциальной энергии тела, погруженного в жидкость.

14. Найти зависимость выталкивающей силы Архимеда от глубины погружения.

15. Сосуд с жидкостью падает с ускорением . Как меняется давление с изменением глубины?

16. Может ли быть одинаковым давление в двух точках, лежащих на разных уровнях в установленной наклонно сужающейся трубке, по которой течет идеальная жидкость?

17. Почему струя жидкости, вытекающая из отверстия, по мере удаления от отверстия все больше сжимается?

Лекция №10. Движение в неинерциальных системах отсчета

1. Неинерциальные системы отсчета

Системы отсчета, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением, называются неинерциальными. В неинерциальных системах законы Ньютона несправедливы. Эту несправедливость можно обнаружить на примере тела, покоящегося в некоторой инерциальной системе. В этом случае тело не испытывает действия сил . Однако в неинерциальной системе, движущейся по отношению к инерциальным системам с ускорением, тело будет иметь ускорение а, отличное от нуля. Поскольку , равенство не соблюдается.

Рассмотрим две системы отсчета (рис.10.1), из которых система К является инерциальной, а система К' движется относительно К с некоторым ускорением и, следовательно, неинерциальна.

Рис.10.1.

Движение частицы относительно системы К характеризуется радиус-вектором , а относительно системы К' – радиус-вектором , а вектор определяет положение начала координат системы К' относительно системы К.

Эти радиус-векторы связаны соотношением

Дифференцировав это соотношение дважды по времени, получим равенство

(10.1)

Первая производная в (10.1) дает ускорение частицы а в системе К, вторая – ускорение начала О' системы К' относительно системы К.

С производной дело обстоит сложнее: если система К' в дополнение к поступательному движению еще и вращается с угловой скоростью , то эта производная, кроме ускорения а' частицы в системе К', содержит слагаемые, в которые входят множителями либо , либо . Это обусловлено тем, что в (10.1) представляет собой производную, вычисленную наблюдателем, находящимся в системе К. А а' есть вторая производная , вычисленная наблюдателем, который вращается вместе с системой К'. Вектор ведет себя в обеих системах по-разному.

В случае, когда система К' движется относительно К поступательно (т.е. ), = а' и соотношение (10.1) можно представить в виде

(10.2)

2. Силы инерции

-121

Умножим равенство (10.2) на массу частицы m: .

Здесь произведение есть сила , с которой действуют на частицу другие тела согласно второму закону Ньютона. В результате получим уравнение

(10.2)

Отсюда видно, что относительно системы К' частица ведет себя так, как если бы кроме «реальной» силы F на нее действовала дополнительная «фиктивная» сила . Эта сила называется силой инерции. Обозначим ее как. Фиктивность силы инерции надо понимать в том смысле, что не существует тел, воздействием которых была бы обусловлена эта сила. У нее нет «партнера», т.е. второй силы, предписываемой третьим законом Ньютона. Сила инерции обусловлена свойствами (неинерциальностью) той системы отсчета, в которой рассматриваются механические явления.

Напишем уравнение (10.2) следующим образом:

(10.3)

Это уравнение справедливо в неинерциальной системе отсчета. По форме оно аналогично уравнению второго закона Ньютона. Следовательно, введение сил инерции позволяет описывать движение тел в любых (как инерциальных, так и неинерциальных) системах отсчета с помощью одних и тех же уравнений движения. В этом заключается смысл введения сил инерции.

Каждый, кто пользуется городским транспортом, испытывал на себе действие сил инерции. Так, при резком торможении автобуса или трамвая пассажиры испытывают силу, толкающую их вперед; стоящие вблизи стекла, ограждающего кабину водителя, могут при этом под действием «фиктивной» силы инерции набить себе вполне реальную шишку.

Введение сил инерции не является совершенно необходимым. Любое движение можно рассмотреть по отношению к инерциальной (например, гелиоцентрической) системе отсчета. Однако на практике часто представляет интерес именно движение тел по отношению к неинерциальным системам отсчета (например, по отношению к Земле). Использование сил инерции позволяет решить соответствующую задачу непосредственно в такой системе отсчета, что часто бывает намного проще, чем решение в инерциальной системе.

Характерной особенностью сил инерции является их пропорциональность массе тела. В этом отношении силы инерции сходны с гравитационными силами. Представим себе, что мы находимся в закрытой кабине, а кабина движется вверх относительно инерциальных систем с постоянным ускорением в направлении. Тогда всякое тело внутри кабины будет вести себя так, как если бы на него действовала сила инерции . В частности, пружина, к концу которой подвешено тело массой m, растянется так, чтобы упругая сила уравновесила силу инерции. Однако такие же явления наблюдались бы и в том случае, если бы кабина была неподвижной, а под ней находилась Земля. Не имея возможности «выглянуть» из кабины, никакими опытами, проводимыми внутри кабины, мы не могли бы определить, чем обусловлена сила – ускоренным движением кабины или действием гравитационного поля Земли. Основываясь на это утверждение, говорят об эквивалентности сил инерции и сил тяготения. Эта эквивалентность Эйнштейном была положена в основу общей теории относительности.

3. Силы инерции при ускоренном поступательном движении
системы отсчета

Пусть на потолке вагона на нити висит шарик массой m. Пока вагон покоится и движется равномерно и прямолинейно, нить, удерживающая шарик, занимает вертикальное положение. При этом сила тяжести уравновешивается реакцией нити.

Если вагон поезда набирает скорость, то нить отклонится от вертикали назад (рис. 10.3).

Рис.10.3

Обозначим ускорение поезда . Относительно Земли (которую мы считаем инерциальной системой отсчета) шарик имеет такое же ускорение ,как и вагон. Это ускорение сообщается шарику силой . Она равна сумме силы натяжения нити Т и силы тяжести , т.е. . Относительно системы отсчета, связанной с ускоренно движущимся вагоном, шарик покоится. Отсутствие ускорения шарика относительно вагона можно объяснить тем, что сила уравновешивается силой инерции, равной (), так как на шарик никакие друге силы не действуют.

Проявление сил инерции при поступательном движении наблюдается в повседневных явлениях. Например, когда поезд набирает скорость, пассажир, сидящий по ходу поезда, под действием силы инерции прижимается к спинке сиденья. Наоборот, при торможении поезда сила инерции направлена в противоположную сторону, и пассажир отделяется от спинки сиденья. Силы инерции особенно заметны при внезапных торможениях поезда. Они проявляются в перегрузках, которые возникают при запуске и торможении космических кораблей.

4. Силы инерции при равномерном вращательном
движении системы отсчета. Центробежная сила инерции

Рассмотрим поведение тел в системе отсчета К', вращающейся относительно инерциальной системы К с постоянной угловой скоростью : в системе отчета К' поступательная составляющая движения отсутствует. Ясно, что она неинерциальна. Примером рассматриваемого движения может служить система, связанная с вращающимся диском электропроигрывателя.

Укрепим на диске радиально направленный стержень, на который наденем шарик, «привязанный» к оси диска пружиной (рис. 10.4).

Рис. 10.4. Шарик может перемещаться только вдоль радиуса диска, скользя без трения по тонкому стержню

Пока диск не вращается, пружина не деформирована. При раскручивании диска шарик растягивает пружину до тех пор, пока упругая сила не станет равной произведению массы шарика на его ускорение. Обозначим через – радиус – вектор, проведенный к шарику от центра диска и перпендикулярно к оси вращения. Его модуль дает расстояние R шарика от оси вращения системы К'. Так как шарик движется от центра и вдоль радиуса окружности вместе с равномерно вращающимся диском, ускорение шарика равно по модулю центростремительному ускорению и направлено противоположно ему:

(10.4)

Таким образом, при вращении диска

(10.5)

Относительно системы отсчета К', связанной с диском, шарик покоится. Формально это можно объяснить тем, что в данной системе кроме силы на шарик действует сила инерции

, (10.6)

направленная вдоль радиуса от оси вращения диска.

Определяемая выражением (10.6) сила называется центробежной силой инерции. Она возникает во вращающихся системах отсчета и не зависит от того, покоится тело в этой системе или движется относительно нее со скоростью. Это следует из того, что скорость не входит в формулу (10.6).

Земля подобна гигантскому вращающемуся шару. Поэтому, рассматривая поведение тел в системе отсчета, связанного с Землей, при точных расчетах нужно учитывать центробежную силу инерции. Эта сила максимальна на экваторе. За сутки, т.е. за 86400 с, Земля поворачивается на угол 2 л. Следовательно, угловая скорость Земли = 2л: 86400 = 7,27 • 10^-5рад/с.

Согласно формуле (10.6) модуль центробежной силы инерции, действующей на экваторе на тело массой 1 кг, равен F_цб = 1,00·(7,27·10-⁵)²·6,38·10^б = 0,0337 Н, что составляет 1/291 часть силы тяжести mg, равной 9,81 Н. Отсюда следует, что при рассмотрении движения тел относительно Земли в ряде случаев центробежной силой инерции можно пренебречь.

Влияние центробежной силы наиболее существенно на вес тела. С целью изучения проявления данного эффекта рассмотрим тело массой m, находящееся вблизи поверхности Земли на широте (рис.10.5). Ускорение свободного падения g есть ускорение тела относительно Земли, т.е. ускорение во вращающейся системе отсчета. В этой системе кроме гравитационной силы F_g, с которой Земля притягивает тело, нужно учитывать и центробежную силу инерции.

Рис.10.5.

Сила тяжести тg является результирующей сил F_g и , т.е. .

Как видно из рисунка, тело отстоит от оси вращения на расстоянии . Тогда величина центробежной силы равно .

Направление силы mg совпадает с направлением нити, натянутой грузом, которое называется направлением отвеса или вертикальным направлением. Из рис. 10.5 видно, что направление отвеса не совпадает с направлением к центру Земли, образуя с ним угол . Для определения этого угла воспользуемся теоремой синусов, согласно которой отношение сторон треугольника равно отношению синусов противолежащих этим сторонам углов. Углу противолежит сторона треугольника, длина которой численно равна , углу – сторона, длина которой численно равно тg. Следовательно, .

Отсюда следует, что . Подставляя известные значения = 2л: 86400 = 7,27 • 10^-5рад/с, , получим (10.7)

Из (10.7) следует, что отклонение отвеса равно нулю на экваторе, где , и на полюсах, где =90°, а на широте= 45° равно 0,0018 рад или 6'. Разность F_g – mg равна нулю на полюсах и достигает максимума, равного 0,3% силы тg, на экваторе. Из-за сплюснутости Земли сила Р_е сама по себе изменяется с широтой, будучи на полюсах на 0,2 % больше, чем на экваторе. В итоге ускорение свободного падения изменяется с широтой от 9,780 м/с² на экваторе до 9,832 м/с² на полюсах. Значение g = 9,80665 м/с² принято в качестве нормального (стандартного) значения.

Дата добавления: 2014-01-04