Статистическая идентификация одномерных детерминированных ТОУ

Задача состоит в определении аналитической зависимости у (t) = f [x(t)] между входом x и выходом y одномерного объекта. Полагаем, что при проведении экспериментальных исследованиях случайные помехи отсутствуют, а в экспериментальных данных нет разброса.

Исследование статических характеристик позволяет оценить чувствительность ТОУ ко входным параметрам, выявить управляющие воздействия и определить допустимые значения возмущений, действующих на ТОУ, и которые могут быть компенсированы выбранными управляющими воздействиями.

Для экспериментального определения статических зависимостей у=f(x) применяют активный и пассивный методы исследования.

Активный метод изучения статики предполагает целенаправленное изменение входных параметров по определённой схеме с регистрацией выходной переменной. При проведении активного эксперимента используют момент включения – выключения установок, выключения регуляторов, а также подачу тестовых сигналов:

- возмущение в виде кратковременного импульса; -единичный скачок 10-20 % от номинального значения; - периодическое воздействие; - гармонический сигнал.

Экспериментатор устанавливает минимально возможное по технологическому регламенту значение входной координаты x(t), или x(1). После окончания переходных процессов в ТОУрегистрируется установившееся значение выходной координаты у(t), или у(1). Затем экспериментатор даёт приращение ∆x входной координате x(t), получает новое её значение x(2) = x(1) + ∆x, регистрирует у(2), снова изменяет x(t) на ∆x и т.д. все остальные координаты поддерживаются постоянными. В результате серии опытов получают таблицу соответствий x(i) → y(i), i = 1,2,…, n, где n – число различных уровней входной координаты x(t). По данным таблицы строится график, который аппроксимируется кусочно – линейной зависимостью (уравнением регрессии).

Наиболее часто модель связи между входами и выходами одномерного объекта описывается полиномом вида:

, (1)

где а₀, а₁, …, а_n – коэффициенты уравнения регрессии, подлежащие определению.

При существенном разбросе значений у(t) коэффициенты статической характеристики (1) определяют с помощью метода наименьших квадратов (МНК):

. (2)

Для определения коэффициентов модели а₀, а₁, а₂ для n=2 составляют систему уравнений:

(3)

.

Совместное решение полученных уравнений относительно а_i даёт значения, удовлетворяющие (2).

Оптимальной считается модель, у которой при определённых расчётом коэффициентах сумма квадратов отклонений расчётных у_р и экспериментальных у_э значений будет минимальной, т.е. минимизируется функционал:

, (4)

где n – число опытов.

На практике используют полином (1) первого или второго порядка. Иногда используют гиперболическую или показательную функции, , если при равных приращениях х величина у растёт примерно в геометрической прогрессии.

Активный эксперимент применяют в тех случаях, когда уровень помех и флуктуаций входных и выходных координат невысок, а технологический регламент допускает искусственные возмущения.

Пассивный метод исследования статических зависимостей сводится к регистрации случайных изменений входных координат x₁ (t), x₂ (t), …, имеющих место в нормальном режиме эксплуатации объекта, и соответствующих им флуктуаций выходной координаты у₁ (t). Случайные процессы x₁ (t), x₂ (t), у₁ (t) квантуются во времени и составляется таблица их значений x₁ (i), x₂ (i), у₁ (i); i=1,2,…,n. Для выбора периода квантования требуется знание автокорреляционных функций Rxx(τ) каждой из координат x₁ (t), x₂ (t), у₁ (t). Период квантования всех входных и выходных случайных процессов объекта берётся равным или большим максимальной величины времени затухания переходного процесса в наиболее инерционном канале ТОУ. Общее число наблюдений должно в 10-30 раз превышать число коэффициентов уравнения регрессии.

Следует отметить, что на данном этапе исследования экспериментатор обычно не располагает информацией о статических характеристиках возмущений и автокорреляционных функциях, что снижает достоверность статических характеристик, определяемых пассивным методом.

Далее, используя формулы корреляционного анализа или МНК, можно определить коэффициенты линейной статической зависимости:

, (5)

где:

(6)

,

q=1,2,…

Пассивный эксперимент не требует проведения специальных опытов, а может базироваться на записях в эксплуатационных журналах и показаниях регистрирующих приборов.

Пассивный метод исследования статики применяется в тех случаях, когда технологический регламент не позволяет наносить искусственные возмущения входным координатам или уровень помех и шумов высок по сравнению с величинами допустимых воздействий ∆x₁, ∆x₂, ….

Дата добавления: 2014-01-04