Получение уравнения множественной регрессии методом Брандона

При обработке результатов исследований некоторых объектов широко применяют графо – аналитические методы.

. (7)

Порядок расположения факторов имеет важное значение для точности обработки результатов измерения. Чем большее влияние на у оказывает параметр x_n, тем меньше должен быть у него порядковый номер. Для определения веса параметров x₁, x₂,… устраивается экспертный опрос. Вид функции f_n выбирается при помощи построения эмпирических линий регрессии (ЭЛР).

На график наносятся экспериментальные данные у, x₁, x₂,…, x_n – получают поле корреляции. Диапазон изменения входной переменной х делят на m интервалов равной длины ∆ х и вычисляют среднее значение данных (точек) на каждом интервале. Получаем трансформированное поле корреляции. Затем для каждого x_n определяют среднее арифметическое значение у_n:

,

где i – количество точек в интервале.

Полученные значения относят к середине интервала, соединяют отрезками прямых и получают ЭЛР.

С увеличением числа наблюдений ЭЛР становится всё более адекватной реальной характеристике объекта. И при неограниченном увеличении числа наблюдений стремится к своему предельному состоянию – теоретической линии регрессии.

Для нахождения (7) определяется тип зависимости у_х1=f₁(x₁) и с помощью МНК рассчитываются её коэффициенты. Затем определяется выборка новой величины у₁=у / f₁(x₁), которая уже не зависит от x₁, а только от x₁, x₂, … и т.д.

- теоретическая линия.

По точкам новой выборки величин у₁ и x₂ строится новое поле корреляции и ЭЛР у_х2=f₁(x₂). Определяются её коэффициенты и рассчитывается выборка новой величины

у₂=у₁ / f₂(x₂). Процедура продолжается до получения выборки величины у_n:

Величина у_n не зависит от всех факторов x₁, x₂,…,x_n и определяется коэффициентом а:

,

где n – объём выборки.

Статистическая идентификация многомерных детерминированных ТОУ

Получение модели многомерных объектов по результатам эксперимента осложняется тем, что на исследуемый параметр у влияет много факторов х_i, которые сложно разделить на существенные и несущественные. Возникают трудности в определении числа входов объекта, подлежащих учёту. Увеличение входов х_i требует рассмотрения многомерной гиперповерхности, описываемой уравнением с несколькими аргументами и не поддающейся геометрической интерпретации.

Модель может быть нелинейной и иметь сложный рельеф. Тогда задача математического описания процесса тесно связана с задачей оптимального управления (оптимизации), т.е. поиск экстремумов путём изменения входных параметров. Такая модель называется целевой функцией или поверхностью отклика, а оптимальное управление обеспечивает работу ТОУ в области экстремального значения критерия качества. Получить по данным эксперимента модель ОУ, точно воспроизводящую поверхность отклика сложно. На практике ограничиваются её линейным или квадратичным приближением, выбирая ограниченный диапазон варьирования входных переменных. Это возможно, если функция непрерывная и выпуклая. Границы области обычно выбирают так, чтобы в ней попал экстремум или предельно допустимые значения у и х_i. Такой подход позволяет оценить влияние различных факторов на исследуемый параметр у и даёт возможность пренебречь некоторыми из них.

Метод, позволяющий получить многомерную модель ОУ на основе активного эксперимента, называется факторным анализом или методом планирования эксперимента, факторным экспериментом. Таким образом, задача планирования эксперимента состоит в установлении минимально необходимого числа опытов для создания информативной, достоверной и удобной в пользовании модели.

Метод заключается в следующем.

1. для объекта выбирают факторы х_i, оказывающие существенное влияние на выход у; определяют области изменения х_i;

2. составляют план эксперимента, который предусматривает изменение всех влияющих факторов;

3. изменяя х_i в избранном диапазоне и сочетаниях, определяемых программой эксперимента, фиксируют значения у;

4. рассчитывают коэффициенты уравнений модели.

Условия проведения эксперимента следующие.

- выбираются независимые друг от друга входные величины х_i;

- предусматривается возможность изменения и наблюдения у;

- факторы х_i задаются с точность, превышающей точность измерения у.

Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней n независимых управляемых факторов, каждый из которых варьируется на двух уровнях. Уровни факторов представляют собой границы исследуемой области по данному технологическому параметру. Число неповторяющихся комбинаций N=2ⁿ.

Например, в качестве факторов, влияющих на конечный результат ТП, можно рассматривать температуру 100⁰ С ≤ х₁ ≤ 200⁰ С, продолжительность процесса 10 мин ≤ х₂ ≤ 20 мин и т.д.

Поскольку факторы х_i имеют различную физическую природу и размерность, пользуются относительными величинами входных переменных - кодами.

Точка с координатами

, (1.1)

называется центром плана или основным уровнем (начало координат).

Величина

(1.2)

является интервалом варьирования по оси х. Чем меньше ∆х_i, тем выше точность модели.

Использование безразмерных нормированных факторов

(1.3)

+1 Х₂^max

даёт возможность построить матрицу планирования с нижними и верхними уровнями варьирования +1 и –1 независимо от характера факторов и интервалов варьирования.

План проведения эксперимента и методика расчёта коэффициентов зависят от выбранного типа модели. На практике многомерная модель представляется степенным полиномом, содержащим также члены, учитывающие совместное действие факторов. Модель второго порядка имеет вид:

, (1.4)

где х₀ – фиктивная переменная, вводимая для унификации членов модели и всегда равная 1.

При идентификации методом планирования эксперимента принимается следующая последовательность операций:

1. все члены уравнения модели, содержащие переменные х_i, их квадраты и произведения записывают в виде линейных уравнений a_ix_i нумеруют последовательно при составлении полинома

, (1.5)

или в общем виде

, (1.6)

где n – число членов уравнения регрессии;

j=1…N – номер эксперимента;

2. для определения коэффициентов а_i уравнения (1.5) в соответствии с МНК записывают функционал

, (1.7)

где N – число экспериментов.

Тогда

, (1.8)

где j – номер опыта.

Значение коэффициента а_i – указывает на силу влияния данного фактора на выходную координату при переходе фактора с основного на верхний или нижний уровень.

В табл. 1 показана матрица планирования (МП) ПФЭ для двух переменных, число опытов N = 2ⁿ, где n – число факторов.

Табл.1.

№ опыта	х0	х1	х2	х3= х1х2	х4= х1^2	х5= х2^2	у
	+1	-	-	+	+	+	у1
	+1	+	-	-	+	+	у2
	+1	-	+	-	+	+	у3
	+1	+	+	+	+	+	у4

Каждому фактору соответствует один вектор – столбец МП. Каждая стока обычно дублируется несколько раз, а в таблицу записывается среднее значение. МП ПФЭ при любом числе факторов можно построить, используя правила чередования знаков. В столбце переменной х₁ знаки чередуются через один, в столбце х₂ – через 2, х₃ формируется путём умножения построчно колонок х₁ и х₂.

Кроме ПФЭ применяется дробный факторный эксперимент (ДФЭ), который позволяет уменьшить объём эксперимента. Число экспериментов определяется по числу коэффициентов выражения (1.6). Для модели типа

вместо N=2³=8 достаточно провести 4 опыта.

РАЗДЕЛ 7.

ДИНАМИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ

Для получения динамических характеристик ОУ используются методы пассивного и активного экспериментов. Динамические модели связывают выходную величину с входным воздействием в процессе их изменения во времени.

Экспериментальный метод определения динамических характеристик заключается в снятии переходной характеристики и аппроксимации её решением линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и нулевыми начальными условиями:

. (1)

Экспериментально полученная переходная характеристика объекта обрабатывается с целью определения передаточной функции и построения частотных характеристик. Это позволит в дальнейшем правильно разработать САР, выбрать тип регулятора и рассчитать параметры его настройки, обеспечивающие выполнение заданных условий устойчивости и качества регулирования.

При активном эксперименте используют методы, основанные на экспериментальном определении частотных и временных характеристик.

Метод частотных характеристик разработан для непараметрической идентификации, но может использоваться и для параметрической идентификации, если предварительно подобрать структуру модели объекта. Частотный метод идентификации обладает невысокой производительностью и неосуществим в реальном масштабе времени.

При использовании метода временных характеристик на входы идентифицируемого объекта последовательно с интервалами, превышающими время затухания собственных движений объекта, подаются короткие (по сравнению с длительностью переходных процессов) импульсы. Реакция объекта на короткие импульсы близка к импульсным переходным функциям. В каждом цикле на один из входов объекта подаётся импульс и регистрируется реакция всех выходов до момента их затухания. За n циклов (n – число входов объекта) обеспечивается получение всей информации, необходимой для идентификации. Рассмотренный метод производительнее метода частотных характеристик, однако, его реализация в условиях неизбежной зашумленности функционирования ТОУ требует формирования мощных импульсов. Использование таких импульсов может вывести ОУ из линейной области.

Аналогично проводится эксперимент по определении переходной функции, выражающей реакцию (отклик) на ступенчатые воздействия. При этом в каждом цикле на каждый вход подаётся не один ступенчатый сигнал, а пара прямоугольных импульсов противоположных знаков, длительность которых превышает время затухания переходных процессов в объекте. Амплитуду входного воздействия выбирают обычно в 5 – 20 % от номинального значения.

Рассмотрим основные методы определения динамических характеристик по h(t), приведённые в приложении 1.

1. Аппроксимация полученной функции h(t) решением линейного дифференциального уравнения (1). Метод применим для аппроксимации монотонных h(t), представленных выражением:

, (2)

где с₀=h_∞≈h(T_y) – коэффициент усиления по исследуемому каналу;

c_i – постоянные интегрирования;

α_i – корни характеристического уравнения, удовлетворяющие неравенству

, I=1,2,…,n-1. (3)

Выражение (2) есть решение дифференциального уравнения (1). Идея метода заключается в последовательном приближении h(t) вначале решением уравнения первого порядка, т.е. функцией , и если эта аппроксимация неудовлетворительна на отрезке времени [0, Т_у], то водится в рассмотрение вторая составляющая , т.е. порядок аппроксимирующего уравнения принимается равным 2, и т.д. Неизвестные α_i и c_i определяются на каждом этапе аппроксимации с помощью операции логарифмирования, поэтому способ получил название метода последовательного логарифмирования. Так как α₁ – самый малый из корней, то уменьшается медленнее всех прочих составляющих (ими пренебрегают при больших значениях времени t). Тогда

. (4)

Логарифмируя функцию │h₁(t)│ получим уравнение прямой линии в полулогарифмическом масштабе по оси ординат:

(5)

Для определения α_i и c_i вычисляется функция h₁(t) по (4) и строится график ln│h₁(t)│ в зависимости от t. К функции ln│h₁(t)│ проводится асимптота при t→∞, которая отсекает по оси ординат отрезок, равный ln c₁. Тогда корень α_i равен тангенсу угла наклона асимптоты к оси абсцисс:

, (6)

где t₁ – точка пересечения асимптоты с осью времени (рис. 1).

Рис.1. К примеру определения коэффициентов передаточной функции методом последовательного логарифмирования.

Если аппроксимация (4) является неудовлетворительной, то вводится вторая составляющая и для определения α₂ и c₂ рассмотренным выше способом вычисляется функция

. (7)

Если же (4) действительно является решением дифференциального уравнения первого порядка, то функция (7) равна нулю при всех t, т.е. асимптота совпадает со всей функцией ln│h₁(t)│.

Процесс приближения выражением (2) прекращается тогда, когда функция h_n (t)≈0 точностью 1-2 % от величины h (T_y). Знаки переменных интегрирования с_i чередуются и определяются по знакам соответствующих функций h_i(t).

При правильном определении параметров α_i и c_i должны выполнятся следующие “начальные” условия:

. (8)

Практика применения метода последовательного логарифмирования для определения динамических характеристик по переходным функциям объектов показала, что h(t) удовлетворительно аппроксимируется суммой из двух-четырёх экспонент, например:

. (9)

Для проверки адекватности полученной модели сопоставляют графики h(t), полученные экспериментально и по модели (9). При удовлетворительном совпадении графиков переходят к определению передаточной функции по рассматриваемому каналу без учёта чистого запаздывания.

Уравнение (9) преобразуют по Лапласу при нулевых начальных условиях (8):

, (10)

. (11)

Получим передаточную функцию объекта по исследуемому каналу, разделив уравнение (10) на преобразование по Лапласу единичного ступенчатого входного воздействия и учитывая нулевые начальные условия (11):

, (12)

где k=c₀, T₁=1/α₁, T₂=1/α₂.

Следует отметить, что определение коэффициентов α_i и c_i осуществляется по h(t), из которой уже выделено время чистого запаздывания τ, поэтому динамические свойства объекта будут описываться передаточной функцией

.

Далее можно переходить к расчёту частотных характеристик. АФЧХ даёт наглядную картину динамических свойств исследуемого объекта, характеризуя его поведение на всём диапазоне частот и позволяют исследовать на устойчивость.

Рассмотренный метод аппроксимации h(t) решением линейного дифференциального уравнения прост и удобен. Основной недостаток метода последовательного логарифмирования заключается в неизбежном появлении субъективных ошибок при проведении асимптот и как следствие этого в трудности точного определения α_i и c_i, удовлетворяющих начальным условиям (8), (11).

2. Аппроксимация переходной функции решением дифференциального уравнения первого порядка с запаздыванием. Аппроксимирующая передаточная функция имеет вид:

,

а решение линейного дифференциального уравнения первого порядка с запаздыванием при нулевых начальных условиях будет следующим:

; ,

; ,

где постоянная времени Т и время запаздывания τ подлежат определению из экспериментальной переходной характеристики h(t) (рис.1). Коэффициент усиления к определяется:

,

или

,

если рассматривается единичная переходная характеристика.

Рис.2. К примеру аппроксимации h(t) W(р) первого порядка с запаздыванием.

Считаем, что время запаздывания заранее выделено из h(t).

Интерполяционный метод Орманна определения Т и τ заключается в следующем.

На нормированной переходной характеристике (рис.1) выбираются две точки А и В с координатами h_A, t_A и h_B, t_B. Желательно, чтобы точка А была расположена около точки перегиба, а ордината В равнялась 0,8-0,9. Тогда определим неизвестные Т и τ по следующим соотношениям:

;

.

Аппроксимирующая кривая будет пересекать экспериментальную характеристику в начале координат, точках А и В и в принципе при t=∞. Такими условиями обеспечивается приемлемая точность описания динамических свойств объекта W(p).

3. Аппроксимация переходной характеристики решением дифференциального уравнения второго порядка. Динамические свойства промышленного объекта приближённо описываются W(p) cледующего вида:

.

h(t) объекта аппроксимируется следующим решением дифференциального уравнения второго порядка:

.

На рис. 3 приведена переходная характеристика технологического объекта по управляющему воздействию, которая представляет собой монотонную функцию времени.

Рис.3. Переходная характеристика статического двухъемкостного объекта.

Значения Т₁ и Т₂ определяются следующим образом:

,

,

при h(0,5T₂)≥0,3K.

Недостатки рассмотренных графических методов аппроксимации h(t) очевидны: не всегда можно определить точку перегиба h(t), возможно неоднозначное проведение касательной, не учитывается форма и характер остальной h(t). Однако, графические методы просты в применении и не требуют значительных затрат времени на реализацию.

4. Аппроксимация переходных функций объектов, содержащих интегрирующие звенья. При известной форме входного сигнала x(t) по виду переходной характеристики нетрудно установить наличие в исследуемом объекте интегрирующих звеньев.

В общем случае дифференциальное уравнение движения выходной координаты объекта с интегрирующими свойствами y(t) записывается в виде:

, (13)

где n ≥ m; 0 < k < n; обычно k не больше 2;

a_k, a_k+1, …, a_n – постоянные коэффициенты;

b₁, b₂, …, b_m – постоянные величины, некоторые из них могут быть равны нулю, но b₀ ≠0.

Тогда аппроксимирующая передаточная функция W(p) имеет вид:

,

где τ – время чистого запаздывания.

Уравнение (13) легко привести к уравнению (1), подставив . Порядок нового уравнения будет равен n-k, и для определения его n-k+m неизвестных коэффициентов применяются любые из рассмотренных методов аппроксимации переходных характеристик.

Рассмотрим более простой метод аппроксимации – графический.

В случае, если переходная характеристика изменяется с постоянной скоростью, начиная с момента нанесения возмущения x(t)=A, динамические свойства объекта описываются передаточной функцией W(p) вида:

,

где К=tgα / A – отношение тангенса угла наклона функции h(t) к амплитуде входного воздействия А.

Если скорость изменения выходной координаты устанавливается с некоторым запаздыванием τ, которое равно орезку оси абсцисс, отсекаемому асимптотой, проведённой к h(t).

В общем случае в качестве аппроксимирующей передаточной функции W(p) используется:

.

Для нахождения неизвестных K, T и n из графика h(t) определяют угол наклона α асимптоты к оси абсцисс, величины h_u и T_u=τ (рис. 4).

Рис. 4. Определение параметров интегрирующей W(p)объекта.

Затем рассчитывается К=tgα/A, а из номограмм, приведённых в [2], находятся T и n.

n

n

T_u/T

h_u/KT_u

Дата добавления: 2014-01-04