Лекция 48. Тройной интеграл и его вычисление

План

Лекция 44. Двойные интегралы

Питання

Достатня умова рівності мішаних похідних

Визначення частинної похідної -го порядкуфункції багатьох змінних. Поняття мішаної похідної

Нехай, - відкрита. Нехай скрізь на множині у існує. Ця похідна також є функцією:

.

Може статися, що має в деякій точці частинну похідну по. Тоді цю частинну похідну називають похідною другого порядка від функції по змінним, в точці і позначають:

.

По індукції можна визначити частинну похідну від функції го порядку по змінним, яку позначають:

.

Якщо серед індексів є хоча б одна пара різних, то відповідна похідна називається мішаною.

Приклад. Нехай.

Теорема (достатня умова рівності мішаних похідних). Нехай, - відкрита. Нехай скрізь на множині у існують. Тоді у всіх точках, де вони неперервні, має місце рівність:

.

1. Що називається вектор-функцією одного аргумента? Навести приклади вектор-функцій.
2. Як визначається похідна вектор-функції?
3. Зв’язок між неперервністю і диференційованістю вектор-функції.
4. Що таке мішана похідна дійсної функції багатьох змінних?
5. Як визначається частинна похідна від функції го порядку по змінним?
6. Чи завжди мішані похідні другого порядку є рівними? Достатня умова рівності мішаних похідних.

1. Построение интегральной суммы для двойного интеграла. Определение двойного интеграла
2. Криволинейные трапеции первого и второго типа.
3. Сведение двойного интеграла к повторному

1. Построение интегральной суммы для двойного интеграла. Определение двойного интеграла

Пусть в области определена функция. Разобьем область кривыми на конечное количество частей,,...,, площади которых соответственно обозначим (рис.1). В каждой подобласти выберем произвольно точку, вычислим значение функции в этих точках. Сумму

будем называть интегральной суммой для в области.

Обозначим:

.

Рис.1.

Определение. Если существует, который не зависит ни от того, как область разбивалась на части, ни от того, как выбирались промежуточные точки, то этот предел называется двойным интегралом от функции в области и обозначается:

.

Геометрический смысл двойного интеграла. Рассмотрим тело, которое сверху ограниченно поверхностью, снизу - плоской фигурой, которая находится на координатной плоскости ХОУ, по бокам - цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси OZ(рис.1). Тогда значение двойного интеграла - это объем тела (рис.1).

1. Сведение двойного интеграла к повторному

Пусть тело в трехмерном пространстве ограничено плоскостями. Предположим, что сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ, которая пересекает эту ось в точке с абсциссой (), имеет площадь. Тогда, как известно из темы «Применение интеграла Римана», объем тела будет вычисляться по формуле:

. (5)

Воспользуемся этой формулой для объема цилиндрического тела. Пусть сначала в его основе будет прямоугольник (рис.2). Сечение тела плоскостью является криволинейной трапецией,проекция которой на координатную плоскость - (рис.2). Площадь полученного сечения будет равняться:

. (10)

Формула (10) имеет место для любого, поэтому

. (20)

Подставляя (20) в (5), получим:

. (30)

Учитывая геометрический смысл двойного интеграла, из формулы (30) получим:

. (40)

Формула (40) является формулой сведения двойного интеграла к повторному в случае, когда область.

Рис.2.

Пусть теперь область на ХОУ является криволинейной трапецией І типа и ограничена кривыми

(рис.3). Этот случай отличается от предыдущего тем, что раньше для каждого фиксированного значения изменялись на, а теперь, поэтому

.

Тогда

. (50)

Формула (50) является формулой сведения двойного интеграла к повторному в случае, когда область является криволинейной трапецией І типа.

Пусть теперь область на ХОУ является криволинейной трапецией ІІ типа (рис.4), тогда имеет место следующая формула сведения двойного интеграла к повторному:

. (60)

Если область на ХОУ является одновременно как криволинейной трапецией І, так и ІІ типа, то для вычисления двойного интеграла можно пользоваться формулами (50), (60) и при этом:

. (70)

Формула (70) - это формула замены порядка интегрирования.

Дата добавления: 2014-01-04