Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний

Представление гармонических колебаний в виде вращающегося вектора. Сложение двух гармонических колебаний с одинаковыми частотами, совершающихся в одном направлении. Условия усиления и максимального усиления колебаний.

Механические колебания. Смещение, период, частота, амплитуда фаза и циклическая частота колебаний. Гармонические колебания. Уравнение гармонических колебаний. Скорость и ускорение движения при гармонических колебаниях. Связь ускорения со смещением.

Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени.

Смещение — отклонение тела от положения равновесия.

Фаза колебаний — определяет смещение в любой момент времени, то есть определяет состояние колебательной системы.

Амплитуда — максимальное отклонение колеблющейся величины от некоторого усреднённого её значения для системы

Период — промежуток времени, через который повторяются какие-либо показатели состояния системы (система совершает одно полное колебание)

Частота — число колебаний в единицу времени

В круговых или циклических процессах вместо характеристики «частота» используется понятие круговая (циклическая) частота (рад/сек, Гц, сек⁻¹), показывающая число колебаний за единиц времени:

Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

или

,

где х — значение изменяющейся величины, t — время, остальные параметры — постоянные: А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний, — полная фаза колебаний, — начальная фаза колебаний.

Согласно определению скорости, скорость – это производная от координаты по времени

Таким образом, мы видим, что скорость при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания скорости опережают колебания смещения по фазе на p/2.

Величина - максимальная скорость колебательного движения (амплитуда колебаний скорости).

Согласно определению ускорения, ускорение – это производная от скорости по времени:

-

вторая производная от координаты по времени. Тогда:.

Ускорение при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания ускорения опережают колебания скорости на p/2 и колебания смещения на p (говорят, что колебания происходят в противофазе).

Величина

- максимальное ускорение (амплитуда колебаний ускорения). Следовательно, для ускорения имеем:,

а для случая нулевой начальной фазы:

Сравним выражения для смещения и ускорения при гармонических колебаниях:

и.

Можно записать: -

т.е. вторая производная смещения прямо пропорциональна (с противоположным знаком) смещению. Такое уравнение наз. уравнением гармонического колебания. Эта зависимость выполняется для любого гармонического колебания, независимо от его природы. Поскольку мы нигде не использовали параметров конкретной колебательной системы, то от них может зависеть только циклическая частота.

Мгновенное значение функции можно получить как проекцию на горизонтальную ось отрезка длиной U_m, вращающегося относительно начала прямоугольной системы координат с угловой частотой ω = 2p×f в положительном направлении (против часовой стрелки) (рис. 2.3).

Вращающийся отрезок будем называть вектором.

Рис. 2.3. Представление синусоиды вращающимся вектором

В момент t = 0 вектор образует с горизонтальной осью угол ψ и его проекция на горизонтальную ось равна U_mcos ψ, т.е. мгновенному значению функции при t = 0. За время t = t₁ вектор повернется на угол ω t₁ и окажется повернутым относительно горизонтальной оси на угол ω t₁ +y, его проекция на ось будет равна и т.д.

Таким образом, рассмотрение гармонических колебаний можно заменить рассмотрением вращающихся векторов. Для получения мгновенных значений условимся проектировать вектора на горизонтальную ось.

Если гармонические колебания имеют одну и ту же частоту, то соответствующие этим колебаниям векторы вращаются с одинаковой угловой частотой, и поэтому углы между ними сохраняются неизменными.

Зарисуем две гармонические функции

, (2.9)

имеющие одинаковую угловую частоту ω и начальные фазы y₁ и y₂ (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Векторы напряжений и соответствующие синусоиды

Кривая u₁, смещенная влево относительно u₂, возрастает от нуля до своего положительного максимума раньше, чем кривая u₂. Поэтому говорят, что u₁ опережает по фазе u₂, или наоборот. Разность начальных фаз φ = y₁ – (–y₂) называется фазовым сдвигом или углом сдвига u₁ относительно u₂. Этот угол и образуют векторы, показанные на верхней части рис. 2.4.

При равенстве начальных фаз, т.е. при φ = 0, векторы направлены в одну и ту же сторону, т.е. совпадают по фазе (синфазны). При фазовом сдвиге 180° векторы направлены в диаметрально противоположные стороны (находятся в противофазе).

Диаграмма, изображающая совокупность векторов, построенных с соблюдением их взаимной ориентации по фазе, называется векторной диаграммой.

Векторное представление гармонических функций, частота которых одинакова, облегчает алгебраические операции с ними и дает возможность наглядно представить процессы, происходящие в цепи.

Например, операция сложения

(2.10)

При использовании векторной диаграммы с целью установления фазовых сдвигов или амплитудных значений гармонических величин, имеющих одинаковую частоту, векторная диаграмма может считаться неподвижной. Это равносильно переходу во вращающуюся вместе с векторами систему координат.

Построение векторной диаграммы обычно не связано с определением мгновенных значений гармонических функций. В этом случае они строятся не для амплитуд, а для действующих значений. Кривые мгновенных значений называются временными диаграммами.

Колеблющееся тело может принимать участие в нескольких колебательных процессах, тогда следует найти результирующее колебание, другими словами, колебания необходимо сложить. В данном разделе будем складывать гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

применяя метод вращающегося вектора амплитуды, построим графически векторные диаграммы этих колебаний (рис. 1). Tax как векторы A₁ и A₂ вращаются с одинаковой угловой скоростью ω₀, то разность фаз (φ₂ - φ₁) между ними будет оставаться постоянной. Значит, уравнение результирующего колебания будет

(1)

В формуле (1) амплитуда А и начальная фаза φ соответственно определяются выражениями

(2)

Значит, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает при этом также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ₂ - φ₁) складываемых колебаний.

Рис.1

Исследуем выражение (2) в зависимости от разности фаз (φ₂ - φ₁):

1) φ₂ - φ₁ = ±2mπ (m = 0, 1, 2,...), тогда A=A₁+A₂, т. е. амплитуда результирующего колебания А будет равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

2) φ₂ - φ₁ = ±(2m+1)π (m = 0, 1, 2,...), тогда A=|A₁–A₂|, т. е. амплитуда результирующего колебания будет равна разности амплитуд складываемых колебаний.

Амплитуда результирующего колебания максимальна и равна сумме амплитуд слагаемых колебаний: если разность фаз этих колебаний составляет четное число п; если же разность фаз составляет нечетное число п, то амплитуда результирующего колебания минимальна и равна разности амплитуд слагаемых колебаний.

Для практики представляет особый интерес случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. После сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, которые возникают при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и ω+Δω, причем Δω<<ω. Выберем начало отсчета так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе Δω/2<<ω, получим

(3)

Результирующее колебание (3) можно считать как гармоническое с частотой ω, амплитуда А_σ которого изменяется по следующему периодическому закону:

(4)

Частота изменения А_σ в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т. е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний:

Период биений

Вид зависимости (3) показан на рис. 2, где сплошные жирные линии представляют график результирующего колебания (3), а огибающие их линии - график медленно меняющейся согласно уравнению (4) амплитуды.

Рис.2

Нахождение частоты тона (звука определенной высоты) биений между эталонным и измеряемым колебаниями — наиболее часто используемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений применяется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.

При исследовании сложного колебательного процесса нужно знать, что любые сложные периодические колебания s=f(t) можно представить в виде суперпозиции (наложения) одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, которые кратны циклической частоте ω₀:

(5)

Представление в виде (5) любой периодической функции связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье. Слагаемые ряда Фурье, которые определяют гармонические колебания с частотами ω₀, 2ω₀, 3ω₀,..., называются первой (или основной), второй, третьей и т. д. гармониками сложного периодического колебания.

Дата добавления: 2014-01-04