Описание ориентации тела. Направляющие косинусы

Произвольное движение твердого тела

Ускорения точек твердого тела при произвольном и плоском движении

Дифференцируя основную формулу кинематики твердого тела (4.3)

, получаем формулу для ускорений

.

Производная вектора угловой скорости по времени называется вектором углового ускорения, слагаемое вращательное ускорение точки В вокруг полюса А, - осестремительное ускорение. Таким образом

, где

, (4.6)

.

A

BA

A

B

Формулы (4.6) применимы для произвольного движения. Поясним термин «осестремительное ускорение». В теоретической механике линия, проходящая через полюс А параллельно вектору угловой скорости, называется мгновенной осью вращения. Нетрудно убедиться, что двойное векторное произведение направлено к мгновенной оси вращения под прямым углом, а его модуль равен, где h – расстояние от точки В до мгновенной оси вращения.

В случае плоского движения мгновенная ось вращения на плоском рисунке вырождается в точку- «центр», поэтому во многих учебниках называют «центростремительным». Векторы угловой скорости и углового ускорения перпендикулярны плоскости движения. Раскрывая двойное векторное произведение, получим

=, так как.

Как уже говорилось в параграфе (4.1.1), положение твердого тела можно описать вектором положения какой-либо точки А, называемой полюсом, и ориентацией, которую удобно описывать с помощью жестко связанной с телом тройки векторов. Для простоты возьмем ортонормированную тройку векторов, которые в отсчетном положении обозначаются, а в актуальном в момент времени. В качестве отсчетного положения чаще всего удобно взять положение в момент времени, тогда, но иногда в качестве отсчетного удобнее взять положение, которое тело никогда не занимало в прошлом и, возможно, никогда не займет в будущем. Так, например, можно принять, что - орты декартовой системы координат в используемой системе отсчета.

X

Y

Z

Разложим векторы по базису:

(k= 1, 2, 3) (4.7)

Скалярные произведения, равные косинусам углов между, называются направляющими косинусами.

Принимая правило суммирования по повторяющимся индексам, вместо трех строчек (4.7), в каждой из которых три слагаемых, можем написать короткую формулу. (4.8)

При этом принимается соглашение, что по индексам, присутствующим в обеих частях равенства (в данном случае это индекс) суммирование не производится, а равенство повторяется «k» раз.

Имеется 9 направляющих косинусов, но только 3 из них являются независимыми, поскольку между ними есть 6 уравнений связей, где, напомним, называется символом Кронекера, или

(4.9)

В (4.9) символ «отфильтровал» в двойной сумме по индексам s и m только те слагаемые, у которых s = m.

Знание направляющих косинусов полностью решает задачу описания движения, но выбрать три независимых и аналитически выразить через них остальные шесть невозможно, так как система уравнений (4.9) нелинейная, поэтому в качестве трех параметров, задающих ориентацию тела, обычно используются углы.

Дата добавления: 2014-01-04