Мгновенный центр скоростей и способы его нахождения

Основная формула кинематики твердого тела. Формула Эйлера

Кинематика плоского движения.

Плоским движением называется движение, при котором траектории (а, следовательно, и скорости) всех точек тела лежат в плоскостях, параллельных одной фиксированной плоскости. Таково, например, движение книги по ровному столу. Ясно, что достаточно изучить движение одного лишь сечения – плоской фигуры (одного листа книги).

j(t

A

B

A

B

Рис 4.1.

A

B

Положение твердого тела вообще и плоской фигуры в частности описывается вектором положения какой-либо точки А, называемой полюсом, и ориентацией, которую удобно описывать с помощью жестко связанной с телом тройки векторов. Для простоты возьмем ортонормированную тройку векторов, которые в отсчетном положении обозначаются, а в актуальном в момент времени. В качестве отсчетного положения чаще всего удобно взять положение в момент времени, тогда, но иногда в качестве отсчетного удобнее взять положение, которое тело никогда не занимало в прошлом и, возможно, никогда не займет в будущем.

При плоском движении ориентация задается одним углом j(t). Введем вектор угловой скорости где единичный вектор перпендикулярен плоской фигуре, а его направление согласовано с положительным направлением отсчета угла j(t) в соответствии с принятой ориентацией пространства. Так, в правоориентированном пространстве направлен так, что с его с конца положительное направление отсчета угла j(t) видно происходящим против часовой стрелки, т.е. «на нас» (рис 4.1). Заметим, что независимо от выбора положительного направления отсчета угла j(t) вектор направлен «на нас», если фигура в данный момент времени вращается против часовой стрелки.

Запишем очевидное равенство. (4.1)

Обозначим для краткости и разложим по актуальному базису:

, где координаты постоянные.

Разложим по отсчетному базису и продифференцируем по времени:. Нетрудно убедиться, что =. Совершенно аналогично, откуда следует или

(4.2)

Эта формула называется формулой Эйлера и она справедлива не только для плоского, но и для произвольного движения твердого тела.

Дифференцируя (4.1), получим с учетом (4.2) или

(4.3)

Эту формулу будем называть основной формулой кинематики твердого тела.

Слагаемое называют вращательной скоростью точки B вокруг полюса A.

Направление этого перпендикулярного к слагаемого легко получить, вращая фигуру вокруг полюса А – отсюда и его название.

На рисунке - круговой вектор угловой скорости, которому сопоставляется прямой.

Из основной формулы кинематики твердого тела (4.3) ясно, что если, то можно найти такую точку P, скорость которой равна нулю – эта точка и называется мгновенным центром скоростей.

Для определения неизвестного вектора из уравнения умножим его слева векторно на и, раскрывая двойное векторное произведение, будем иметь

, откуда

(4.4)

Формула (4.4) предполагает, разумеется, известными, но во многих случаях мгновенный центр скоростей можно найти другими способами. Наиболее часто встречаются случаи:

1. Тело катится без проскальзывания.

Мгновенный центр скоростей находится в точке касания тела с неподвижной поверхностью.

Следующие случаи следуют из основной формулы, где в качестве полюса выбран мгновенный центр скоростей: (4.5)

Отсюда следует, что: a) - скорость всякой точки В перпендикулярна,

b) - скорость всякой точки В пропорциональна расстоянию до точки P.

2. Если известна скорость одной точки A и линия, вдоль которой может быть направлена скорость другой точки B, то мгновенный центр скоростей находится на пересечении перпендикуляров к скоростям. В этом случае вычисляется величина угловой скорости, определяется ее направление и, соответственно, скорость точки В (см. рис 4.2).

Если перпендикуляры не пересекаются, то (мгновенно- поступательное движение) и скорости всех точек равны.

Если перпендикуляры слились, то мгновенный центр скоростей находится на пересечении линии, соединяющей концы векторов скорости и общего перпендикуляра.

· P

· P

· P

Рис.4.2. Мгновенный центр скоростей

Дата добавления: 2014-01-04