Уравнения равновесия для произвольной и плоской систем воздействий. Момент относительно оси. Типы опорных реакций. Статически определимые и неопределимые системы

Воздействия и их классификация. Главный вектор и главный момент воздействий. Зависимость главного момента от выбора опорной точки.

В механике принимается, что действие тел друг на друга, приводящее к изменению их движения и состояния, описывается силами и моментами - воздействиями.

Силы и моменты, с которыми действуют друг на друга тела, входящие в рассматриваемую систему, называются внутренними (internal), а силы и моменты, с которыми тела, не включенные в систему, действуют на тела системы, называются внешними (external).

Воздействия, с которыми тела могут действовать друг на друга вне зависимости от того, находятся они в контакте или нет, называются массовыми, или силами и моментами дальнодействия. Примерами являются гравитационное, электрическое, электромагнитное воздействия.

Силы и моменты, с которыми тела (или части одного тела) действуют друг на друга через общую область контакта (поверхность, линию, точку), называются контактными. Примерами контактных воздействий являются давление, трение, силы (напряжения) и моменты, с которыми части тела действуют друг на друга. Контактные воздействия представляют наибольший интерес, поскольку свободные тела, не имеющие контакта с другими, встречаются весьма редко, а массовые воздействия, как правило, известны.

Силы и моменты могут быть измерены многими способами, например, по деформации пружины и деформации самого тела; определение сил и моментов из законов механики по ускорению не является единственным способом.

Сила описывается полярным вектором, а момент аксиальным вектором.

В механике Ньютона, где все тела состоят из материальных точек, моменты определяютсятолько как моменты сил, поскольку к точке невозможно приложить момент, она не может вращаться; в механике Эйлера моменты вводятся как независимые понятия.

Рассмотрим тело, воздействие на которое со стороны его внешности описывается массовыми, контактными, сосредоточенными силами и моментами (рис 2.1).

Рис.2.1.

Главным вектором внешних сил называется векторная сумма

(2.1)

В (1.1) - массовая плотность силы, т.е. сила на единицу массы (например, сила тяжести); - поверхностная плотность, т.е. сила на единицу площади (например, давление).

Моментом силы относительно опорной точки (центра) A называется векторное произведение

, (2.2)

где – вектор, проведенный из точки А к линии действия силы.

Главным моментом внешних воздействий называется сумма

(2.3)

где - приложенные к телу моменты, которые часто изображают в виде «пары сил».

Поскольку причиной (источником) сил и моментов, действующих на тело, являются разные внешние тела, в определениях (2.1), (2.3) содержится так называемая аксиома аддитивности воздействий: сила и момент, действующие на тело, равны сумме сил и моментов, действующих на это тело со стороны всех внешних тел.

Подставляя в (2.3) и вынося постоянный вектор за знаки суммы и интегралов, получим зависимость главного момента от выбора опорной точки:

. (2.4)

Словесная формулировка (2.4) звучит так: момент относительно «нового» центра (А) равен моменту относительно «старого» (В) плюс момент главного вектора сил, помещенного в старом центре, относительно нового.

Из первых двух фундаментальных законов механики – баланса количества движения и момента количества движения следует, что необходимыми условиями равновесия тела в инерциальной системе отсчета является равенство нулю главного вектора и главного момента внешних воздействий:

В проекции на оси декартовой системы координат векторные уравнения(2.5) и (2.6) представляют собой в общем случае систему шести уравнений равновесия

,, (2.7)

В случае так называемой плоской системы сил, когда все силы лежат в одной плоскости, а моменты, разумеется, ей перпендикулярны, система состоит из трех уравнений

(2.8)

Моментом силы относительно оси называется проекция на эту ось момента, вычисленного относительно любой точки на этой оси:. Действительно, умножая скалярно на орт оси равенство, получим. Раскладывая силу на составляющие (см. рисунок), получим практическое правило для вычисления момента относительно оси

h

A

:, где знак (+) в том случае, если при взгляде с оси составляющая стремится повернуть тело против часовой стрелки, и знак – если по часовой стрелке.

Типы опорных реакций.

Контактные силы и моменты, с которыми на рассматриваемое тело действуют окружающие тела, называют реакциями связей, а сами тела – связями. Связи накладывают ограничения на возможные движения точек тела. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся типы опор.

Заметим, что общим правилом по определению вида реакций связи является следующее:

а) сообщаем телу всевозможные перемещения (скорости) и если при этом связь препятствует перемещению в каком-либо направлении, то в этом направлении имеется составляющая силы реакции.

б) сообщаем телу всевозможные повороты (угловые скорости) и если при этом связь препятствует повороту вокруг какой-либо оси, то вокруг этой оси имеется составляющая момента, иными словами, проекция момента на эту ось не равна нулю.

1. Заделка (консольная опора, жесткое защемление).

Заделка действует на тело (балку) неизвестной силой, препятствующей движению во всех направлениях и моментом, препятствующим повороту вокруг любой оси.

2. Подвижная заделка.

Подвижная заделка позволяет двигаться в определенном направлении, поэтому отсутствует составляющая силы реакции в этом направлении.

3. Неподвижный шарнир - препятствует движению во всех направлениях, но позволяет вращаться, поэтому его действие описывается только силой реакции

или

или

или

4. Подвижный шарнир – препятствует движению только в одном направлении

Если число неизвестных равно числу линейно-независимых уравнений, которые можно составить для системы, то система называется статически определимой, а если число неизвестных больше, то статически неопределимой. Так, например, для балки с жестко защемленными краями в случае плоской системы число неизвестных равно шести, а уравнений можно составить только три - задача статически неопределима.

Статическая определимость или неопределимость далеко не всегда очевидны и могут проявиться лишь в отсутствии решения системы уравнений равновесия вследствие того, что уравнения в системе линейно зависимы, т.е. некоторые уравнения являются линейными комбинациями остальных. Так, написав для тела шесть уравнений вида (2.7), используя произвольную опорную точку А, мы не сможем решить эту систему для случая, когда, например, тело нагружено силами (в том числе и реакциями опор), линии действия которых пересекаются в некоторой точке и момент относительно этой точки тождественно равен нулю; следовательно, из шести уравнений будут независимы только три.

Дата добавления: 2014-01-04