Скорость и ускорение при траекторном (естественном) способе описания движения

Скорость и ускорение в цилиндрической системе координат

Скорость и ускорение в декартовой системе координат.

В декартовой системе вектор положения задается в виде, где - координаты вектора, а, – ортонормированный базис, т.е. базисные векторы единичные и взаимно-перпендикулярные. В этом случае координаты равны проекциям вектора на оси, задаваемые базисными векторами:.

Векторы скорости и ускорения равны

,

а их модули

Вектор положения точки задается как функция цилиндрических координат

(3.2)

В цилиндрической системекоординат, каки в любой другой системе, вводятся базисныевекторы (3.3)

Базисные векторы направлены по касательным к так называемым координатным линиям – линиям, получающимся при изменении только одной координаты.

Использование единичных базисных векторов удобно тем, что координаты вектора в единичном базисе имеют ту же размерность, что и сам вектор.

Дифференцируя (3.2), получим с учетом (3.3)

= (3.4)

Дифференцируя (3.4) и учитывая, что, будем иметь

(3.5)

Упражнение 2. Найти скорость и ускорение точки, движущейся по цилиндру.

Y

X

Z

Z

•

Уравнения движения (винтовая линия)

n

τ

+S

Этот способ применяется, когда точка движется по заданной линии (траектории).

Уравнением задается линия, по которой движется точка; закон движения по ней, где – дуговая координата, т.е. длина дуги со знаком.

Базисные векторы вводятся следующим образом:

– единичный вектор (орт) касательной,

где - кривизна, а - единичный вектор главной норма ли,

–так называемый вектор бинормали.

Векторы лежат в так называемой соприкасающейся плоскости – предельном при положении плоскости, содержащей (s) и (s+. Кривизна характеризует скорость изменения направления касательной; обратную к ней величину. называют радиусом кривизны траектории.

Вектор скорости

, (3.6)

где является проекцией (единственной) вектора скорости на направление касательной и может быть любого знака.

Дифференцируя еще раз, получаем вектор ускорения

.

Производную также запишем как производную сложной функции

, тогда

, где (3.7)

- касательное (тангенциальное) ускорение,

- нормальное ускорение.

«Кинематический» подход часто используется дпя вычисления кривизны траектории при координатном способе задания движения. Вычисляется скорость и ее величина, ускорение и ее величина, касательное ускорение, (либо), нормальное ускорение

и радиус кривизны.

Глава 4. Кинематика твердого тела

Твердым телом будем называть тело, расстояния между точками которого не изменяются в процессе движения.

Если в качестве модели реального объекта рассматривается тело, состоящее из тел-точек, положение которых описывается не только вектором положения, а и ориентацией (т.е. тела-точки могут вращаться), то в определение следует добавить слова «и взаимная ориентация не изменяется».

Дата добавления: 2014-01-04