Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Сложное движение тела





Сложное движение точки. Теоремы о сложении скоростей и ускорений (теорема Кориолиса).

 
 
 
 
 
 
 
 
 
S
 
 
 
Рис.4.15.

Имеются две системы отсчета - называемая неподвижной система S, в которой будут написаны все формулы, и подвижная 4.15)

Движение точки по отношению к неподвижной системе называется абсолютным; скорость и ускорение обозначаются

Движение точки по отношению к подвижной системе называется относительным; скорость и ускорение обозначаются

Движение подвижной системы по отношению к неподвижной называется переносным; скорость и ускорение того места подвижной системы, где в данный момент находится рассматриваемая точка, обозначаются

Вектор положения точки в неподвижной системе может быть представлен в виде суммы Разложим по базису подвижной системы: ,

где – координаты относительного движения точки. Таким образом,

(4.32)

Для упрощения записи формул ниже символ зависимости величин от времени опустим.

Дифференцируя (4.32) и заменяя по формуле Эйлера , где – угловая скорость подвижной системы, получим

 

(4.33)

Первые два слагаемых – уже знакомая скорость того места подвижной системы, где находится наблюдаемая точка, то есть переносная скорость

, (4.34)

а сумма произведений производных относительных координат на базисные векторы подвижной системы является относительной скоростью:

. (4.35)

Таким образом, абсолютная скорость равна сумме переносной и относительной: .(4.36)

Продифференцируем (4.33): .

Подставив в это выражение - вектор углового ускорения подвижной системы, ранее полученную формулу (см. 4.33) ,формулу Эйлера ,получим

 

Первые три слагаемые - ускорение того места подвижной системы, где находится точка, то есть переносное ускорение

, (4.37)

сумма произведений производных относительных координат на базисные векторы подвижной системы является относительным ускорением

, (4.38)

а последнее, далеко не очевидное слагаемое называется ускорением Кориолиса

. (4.39)

Получили теорему о сложении ускорений (теорему Кориолиса): Абсолютное ускорение равно сумме переносного ускорения, относительного и ускорения Кориолиса:

(4.40)

Замечание. Относительные скорость и ускорение обычно называют скоростью и ускорением, измеряемыми «подвижным наблюдателем», что не совсем верно, поскольку для подвижного наблюдателя подвижный базис является неподвижным , то есть «истинные» относительные скорость и ускорение равны , а и ускорение - это повернутые вместе с подвижной системой «истинные».



Все вышеизложенное можно кратко получить, используя тензор поворота.

Вектор положения точки в неподвижной системе может быть представлен в виде суммы ,

где -тензор поворота подвижной системы отсчета, – вектор в неподвижной системе, описывающий относительное движение, - повернутый вместе с подвижной системой вектор , т.е это вектор относительного положения, каким его видит неподвижный наблюдатель (рис.4.14). Дифференцируя это равенство и воспользовавшись формулой Пуассона получим теорему сложения скоростей

+,

 

а дифференцируя еще раз – теорему о сложении ускорений

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис.4.16

Рассматривается движение тела («летающей тарелки») относительно двух систем отсчета - неподвижной с ортами и подвижной с ортами (рис 4.16).

Необходимо определить абсолютную ориентацию тела по известной ориентации подвижной системы и относительной ориентации, информация о которой может быть передана в неподвижную систему любым способом, например, в виде телевизионной картинки или в числовом виде посредством направляющих косинусов , измеряемых подвижным наблюдателем.

Тензор поворота, описывающий «абсолютную» ориентацию ; описывающий переносное движение . Тензор поворота относительной ориентации введем в виде , т.е. этот тензор действительно описывает то движение, которое «видит» подвижный наблюдатель, одушевленный или неодушевленный (например, телекамера) и которое неподвижный может наблюдать на экране телевизора. Таким образом,

(4.41)

Вектор угловой скорости по теореме о сложении угловых скоростей имеет вид

(4.42)

Вектор углового ускорения

, или

(4.43)

Существует и другая [4] интерпретация сложного движения, которая в части описания ориентации по сути не отличается от вышеизложенного подхода, а вот в части определения относительной угловой скорости отличается существенно .

Тензор поворота переносного движения, как и ранее .

Тензором относительного поворота называется ; .Действительно, матрица компонент этого тензора, записанного в базисе , описывает относительную ориентацию .

Очевидно, что тензор поворота абсолютного движения

.

Сразу же отметим, что - это повернутый вместе с подвижной системой «истинный» тензор поворота относительного движения :

,

так что – формула (4.41).

Векторы абсолютной и переносной угловых скоростей вводятся обычным способом в соответствии с формулой Пуассона , а вот вектор относительной угловой скорости определяется таким образом, чтобы формула сложения угловых скоростей имела привычный (см. любой учебник) вид

. (4.44)

Для этого вводится формулой

, (4.45)

где - производная Яуманна, известная в теоретической механике как относительная производная. Так, если вектор задан координатами в подвижном базисе , то полная производная по времени имеет вид

,

где подчеркнутое слагаемое – относительная производная, т.е. производная, которую вычислял бы подвижный наблюдатель, для которого базисные векторы неподвижны. Таким образом, .

Совершенно аналогично для тензора

. (4.46)

Дифференцируя и заменяя по (4.46), (4.45), придем к (4.44).

Собственно говоря, из (4.42) следует, что , то есть это повернутый вместе с подвижной системой (вместе с телевизором ) «истинный» вектор угловой скорости относительного движения . При графоаналитическом решении задач, когда, разумеется, рассматривается актуальное состояние, именно изображается на рисунках.

 
 
В качестве примера можно рассмотреть, например, вращающуюся вокруг неподвижной оси с ортом платформу, относительно которой вокруг оси с ортом вращается тело (см.рис.).

Введем подвижную систему отсчета, связанную с платформой.

. Тензор поворота переносного движения . Тензор поворота относительного движения («истинный») , где - орт оси поворота тела в отсчетном положении. Заметим, что для подвижного наблюдателя постоянный вектор остается неподвижным и впредь. Разумеется, по (4.41),(4.42)

(4.47)

.

При втором подходе , , (вектор считается постоянным). Так как , то по теореме (4.19) и, как отмечалось выше, получим (4.47).

 

Глава 5. Фундаментальные законы механики.

Фундаментальные законы формулируются в инерциальных системах отсчета.

Инерциальная система отсчета - система, относительно которой изолированная от внешних сил (одинокая во всем мире) материальная точка либо движется равномерно и прямолинейно, либо находится в покое.

Заметим, что этим определением вводится понятие равномерного течения времени и тем самым способ тарировки часов.

Подробное изложение рассматриваемых вопросов можно найти в книге [5].





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 233; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.004 сек.