Сложное движение тела

Сложное движение точки. Теоремы о сложении скоростей и ускорений (теорема Кориолиса).

S

Рис.4.15.

Имеются две системы отсчета - называемая неподвижной система S, в которой будут написаны все формулы, и подвижная 4.15)

Движение точки по отношению к неподвижной системе называется абсолютным; скорость и ускорение обозначаются

Движение точки по отношению к подвижной системе называется относительным; скорость и ускорение обозначаются

Движение подвижной системы по отношению к неподвижной называется переносным; скорость и ускорение того места подвижной системы, где в данный момент находится рассматриваемая точка, обозначаются

Вектор положения точки в неподвижной системе может быть представлен в виде суммы Разложим по базису подвижной системы:,

где – координаты относительного движения точки. Таким образом,

(4.32)

Для упрощения записи формул ниже символ зависимости величин от времени опустим.

Дифференцируя (4.32) и заменяя по формуле Эйлера, где – угловая скорость подвижной системы, получим

(4.33)

Первые два слагаемых – уже знакомая скорость того места подвижной системы, где находится наблюдаемая точка, то есть переносная скорость

, (4.34)

а сумма произведений производных относительных координат на базисные векторы подвижной системы является относительной скоростью:

. (4.35)

Таким образом, абсолютная скорость равна сумме переносной и относительной:. (4.36)

Продифференцируем (4.33):.

Подставив в это выражение - вектор углового ускорения подвижной системы, ранее полученную формулу (см. 4.33),формулу Эйлера,получим

Первые три слагаемые - ускорение того места подвижной системы, где находится точка, то есть переносное ускорение

, (4.37)

сумма произведений производных относительных координат на базисные векторы подвижной системы является относительным ускорением

, (4.38)

а последнее, далеко не очевидное слагаемое называется ускорением Кориолиса

. (4.39)

Получили теорему о сложении ускорений (теорему Кориолиса): Абсолютное ускорение равно сумме переносного ускорения, относительного и ускорения Кориолиса:

(4.40)

Замечание. Относительные скорость и ускорение обычно называют скоростью и ускорением, измеряемыми «подвижным наблюдателем», что не совсем верно, поскольку для подвижного наблюдателя подвижный базис является неподвижным, то есть «истинные» относительные скорость и ускорение равны, а и ускорение - это повернутые вместе с подвижной системой «истинные».

Все вышеизложенное можно кратко получить, используя тензор поворота.

Вектор положения точки в неподвижной системе может быть представлен в виде суммы,

где -тензор поворота подвижной системы отсчета, – вектор в неподвижной системе, описывающий относительное движение, - повернутый вместе с подвижной системой вектор, т.е это вектор относительного положения, каким его видит неподвижный наблюдатель (рис.4.14). Дифференцируя это равенство и воспользовавшись формулой Пуассона получим теорему сложения скоростей

+,

а дифференцируя еще раз – теорему о сложении ускорений

Рис.4.16

Рассматривается движение тела («летающей тарелки») относительно двух систем отсчета - неподвижной с ортами и подвижной с ортами (рис 4.16).

Необходимо определить абсолютную ориентацию тела по известной ориентации подвижной системы и относительной ориентации, информация о которой может быть передана в неподвижную систему любым способом, например, в виде телевизионной картинки или в числовом виде посредством направляющих косинусов, измеряемых подвижным наблюдателем.

Тензор поворота, описывающий «абсолютную» ориентацию; описывающий переносное движение. Тензор поворота относительной ориентации введем в виде, т.е. этот тензор действительно описывает то движение, которое «видит» подвижный наблюдатель, одушевленный или неодушевленный (например, телекамера) и которое неподвижный может наблюдать на экране телевизора. Таким образом,

(4.41)

Вектор угловой скорости по теореме о сложении угловых скоростей имеет вид

(4.42)

Вектор углового ускорения

, или

(4.43)

Существует и другая [4] интерпретация сложного движения, которая в части описания ориентации по сути не отличается от вышеизложенного подхода, а вот в части определения относительной угловой скорости отличается существенно.

Тензор поворота переносного движения, как и ранее.

Тензором относительного поворота называется;. Действительно, матрица компонент этого тензора, записанного в базисе, описывает относительную ориентацию.

Очевидно, что тензор поворота абсолютного движения

.

Сразу же отметим, что - это повернутый вместе с подвижной системой «истинный» тензор поворота относительного движения:

,

так что – формула (4.41).

Векторы абсолютной и переносной угловых скоростей вводятся обычным способом в соответствии с формулой Пуассона, а вот вектор относительной угловой скорости определяется таким образом, чтобы формула сложения угловых скоростей имела привычный (см. любой учебник) вид

. (4.44)

Для этого вводится формулой

, (4.45)

где - производная Яуманна, известная в теоретической механике как относительная производная. Так, если вектор задан координатами в подвижном базисе, то полная производная по времени имеет вид

,

где подчеркнутое слагаемое – относительная производная, т.е. производная, которую вычислял бы подвижный наблюдатель, для которого базисные векторы неподвижны. Таким образом,.

Совершенно аналогично для тензора

. (4.46)

Дифференцируя и заменяя по (4.46), (4.45), придем к (4.44).

Собственно говоря, из (4.42) следует, что, то есть это повернутый вместе с подвижной системой (вместе с телевизором) «истинный» вектор угловой скорости относительного движения. При графоаналитическом решении задач, когда, разумеется, рассматривается актуальное состояние, именно изображается на рисунках.

В качестве примера можно рассмотреть, например, вращающуюся вокруг неподвижной оси с ортом платформу, относительно которой вокруг оси с ортом вращается тело (см.рис.).

Введем подвижную систему отсчета, связанную с платформой.

. Тензор поворота переносного движения. Тензор поворота относительного движения («истинный»), где - орт оси поворота тела в отсчетном положении. Заметим, что для подвижного наблюдателя постоянный вектор остается неподвижным и впредь. Разумеется, по (4.41),(4.42)

(4.47)

.

При втором подходе ,, (вектор считается постоянным). Так как, то по теореме (4.19) и, как отмечалось выше, получим (4.47).

Глава 5. Фундаментальные законы механики.

Фундаментальные законы формулируются в инерциальных системах отсчета.

Инерциальная система отсчета - система, относительно которой изолированная от внешних сил (одинокая во всем мире) материальная точка либо движется равномерно и прямолинейно, либо находится в покое.

Заметим, что этим определением вводится понятие равномерного течения времени и тем самым способ тарировки часов.

Подробное изложение рассматриваемых вопросов можно найти в книге [5].

Дата добавления: 2014-01-04