Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Маятник Фуко (точное решение линейной задачи)


Пример 1. Маятник Фуко.

Впервые публичная демонстрация была осуществлена французским физиком и астрономом

Жаком Фуко в 1851г. в Парижском Пантеоне: под куполом Пантеона он подвесил

металлический шар массой 28 кг с закреплённым на нём остриём на стальной проволоке

длиной 67м, крепление маятника позволяло ему свободно колебаться во всех направлениях,

под точкой крепления было сделано круговое ограждение диаметром 6 метров, по краю

ограждения была насыпана песчаная дорожка таким образом, чтобы маятник в своём

движении мог при её пересечении прочерчивать на песке отметки. Чтобы избежать бокового

толчка при пуске маятника, его отвели в сторону и привязали верёвкой, после чего верёвку

пережгли.

Маятник Фуко в Парижском Пантеоне

 

 

Период колебания маятника при такой длине подвеса составлял 16,4 секунд, при каждом колебании отклонение от предыдущего пересечения песчаной дорожки составляло ~3 мм, за час плоскость колебаний маятника повернулась более чем на 11° по часовой стрелке, то есть примерно за 32 часа совершила полный оборот и вернулась в прежнее положение.

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z
Для качественного понимания причины поворота плоскости колебаний поместим маятник на Северном полюсе и сообщим ему начальную скорость .

В инерциальной системе отсчета, в качестве которой можно взять систему, связанную с «неподвижными» звездами, уравнение движения имеет вид

,

где - вектор положения маятника с началом в неподвижной точке системы отсчета ( например, в центре Земли), - натяжение нити, а - гравитационное притяжение Земли.

Ясно, что если начальная скорость лежит в плоскости , то маятник не выйдет из постоянной в инерциальной системе плоскости колебаний, что с точки зрения земного наблюдателя воспринимается как вращение этой плоскости по часовой стрелке с угловой скоростью . Если же маятник находится на широте , то плоскость колебаний вращается с угловой скоростью .



Рассматривая движение маятника как сложное, состоящее из переносного вместе с Землей и относительного, запишем уравнение в виде (5.10)

, , где сумма сила тяжести на данной широте. Решение этого уравнения даже в линейном приближении довольно громоздко, (смотри ниже), поэтому пока ограничимся тем, что «добавочная» сила инерции Кориолиса (- направлена перпендикулярно скорости вправо, если смотреть вслед маятнику, чем и объясняется вращение плоскости колебаний по часовой стрелке. Заметим также, что линейное приближение дает ту же угловую скорость вращения .

 

 
 
 
 
 
Z
 
 
 

Рассматривая движение маятника как сложное, состоящее из переносного вместе с Землей и относительного, запишем уравнение в виде

, , или

где (1)

, сумма сила тяжести на данной широте .

Представим вектор угловой скорости Земли в виде и, удерживая линейные относительно ( величины, будем иметь

, где горизонтальная составляющая вектора положения, ,

где подчеркнутое слагаемое параллельно .

Из проекции уравнения (1) на ось Z получим , а «плоская» часть примет вид , где . (2)

Решение уравнения (2) будем искать в виде . Используя формулу Пуассона , получим

,

 

 

, (учли, что ).

Подставляя в (2), получим или

.

Решение этого уравнения , где , при произвольных , то есть при произвольных начальных условиях, описывает движение по эллипсу. Решение уравнения (2) описывает вращение этого эллипса по часовой стрелке с угловой скоростью . При начальных условиях, осуществленных Фуко (отклонение и отпускание без начальной скорости) находим и решение можно трактовать как вращение плоскости колебаний маятника.

Пример 2. Отклонение снарядов (битва у Фолклендских островов).

В декабре 1914 г. произошло сражение между английской и немецкой эскадрами у Фолклендских островов( южной широты).

По свидетельству английского морского офицера немецкие корабли обстреливались с максимальной дистанции (порядка 15 км), причем снаряды ложились левее цели примерно на сотню ярдов (примерно 90 м), хотя были пристреляны еще в Англии (примерно на северной широты).

Рассмотрим полет снаряда на широте .

Z
 
 
Рис 5.2. Отклонение снаряда
 
 
 
 
X
Y
Z

Уравнение динамики относительного движения

,

где – скорость снаряда относительно Земли, - сила тяжести, считающаяся постоянной в рассматриваемой области, - аэродинамическая сила.

Для простоты положим тогда уравнение примет вид

. (1)

Это линейное дифференциальное уравнение может решено точно, мы построим здесь приближенное методом последовательных приближений.

Нулевое приближение получим, положив

, (2)

Первое приближение получим, подставив (2) в правую часть (1):

. (3)

Если ограничиться линейными членами относительно малой величины ( , то этого приближения достаточно.

Сумма это движение тела без учета вращения Земли, слагаемое

объясняет отклонение падающих тел к востоку (в северном и южном полушариях). Слагаемое описывает отклонение снаряда вправо от направления стрельбы в северном полушарии и влево в южном. Чтобы оценить это отклонение, будем считать для простоты траекторию настильной, т.е. . Проинтегрируем это слагаемое и найдем проекцию вектора положения на направление оси (вправо от направления стрельбы):

.

В южном полушарии знак отрицательный, т.к. , и снаряд отклоняется влево, поэтому при стрельбе в южном полушарии из орудия, пристрелянного в северном, отклонение удваивается.

Точное решение уравнения (1) в учебниках отсутствует; возможно, причина в громоздкости, если решать его в координатном виде. В векторном виде решение проще. Решение неоднородного уравнения равно сумме решений однородного уравнения и частного решения. Вспомнив формулу Пуассона (4.22) , решение однородного уравнения немедленно запишем в виде , где - произвольный постоянный вектор. Частное решение найдем методом вариации произвольных постоянных:



 

Подставив это выражение в уравнение, будем иметь

,

откуда (положили и, следовательно, .

. Записывая и вспоминая представление Эйлера для тензора поворота

+( ) , получим точное решение

.

Разлагая тригонометрические функции в ряды и, удерживая члены с первой степенью , получим приближенное решение (3).

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Уравнения динамики относительного движения материальной точки. Силы инерции | Зависимость кинетического момента от выбора опорной точки. Кинетический момент твердого тела. Тензор инерции

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 940; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.005 сек.