Уравнения динамики относительного движения материальной точки. Силы инерции

Центр масс. Теорема о движении центра масс.

Центром масс (центром инерции) тела называется точка С, вектор положения которой задается формулой

(или, для системы точек,), (5.6)

где - масса всего тела, - вектор положения элемента.

Далее будем рассматривать закрытое тело.

Перепишем определение (5.6) в виде и продифференцируем по времени:

.

Получили, что количество движения (импульс) тела равен произведению массы тела на скорость центра масс:

(5.7)

Подставляя это выражение в закон (5.1), будем иметь

, (5.8)

и, сравнивая с уравнением второго закона Ньютона, приходим к теореме о движении центра масс: центр масс тела движется как материальная точка с массой всего тела под действием силы, равной главному вектору внешних сил.

Если, то скорость центра масс постоянна,

Другой пример. Из школьной физики известно, что при пренебрежении сопротивлением воздуха траектория снаряда, на которого действует сила тяжести – парабола. Из (5.8) следует, что при его взрыве в полете центр масс разлетевшихся осколков будет двигаться по той же траектории.

Центр масс обладает любопытным свойством: величина

(или)

- сумма произведений масс точек тела на квадраты расстояний до точки А, называемая полярным моментом инерции тела в точке A, минимальна, если в качестве точки А взять центр масс; иными словами, если в качестве меры расстояния принять произведение массы на квадрат расстояния до точки, то центр масс – точка, «ближайшая» ко всем точкам тела.

Заменим квадрат модуля скалярным произведением

и, рассматривая как функцию, найдем дифференциал

.

Необходимое условие экстремума (в данном случае минимума) – равенство, откуда вследствие произвольности получим

Как уже отмечалось, уравнение 1-го ФЗМ для материальной точки имеет вид второго закона Ньютона (точку считаем закрытым телом)

. (5.9)

По теореме о сложении ускорений,

поэтому (5.9) можем записать в виде

, (5.10)

где величины по определениюназываются соответственно переносной и кориолисовой силами инерции.

Эти силы называют Эйлеровыми силами инерции, поскольку Эйлер получил их формулы в своих исследованиях законов движения жидкости во вращающихся каналах.

Силы инерции тождественно равны нулю в системах отсчета, движущихся поступательно и равномерно относительно исходной инерциальной. Эти системы образуют класс инерциальных систем отсчета.

Если наблюдатель в какой-либо системе отсчета обнаружит явления, противоречащие законам механики, в которых движения тел зависят от воздействий со стороны других физических тел, то либо не все воздействия учтены, либо его система отсчета неинерциальная.

Дата добавления: 2014-01-04