Дифференциальные уравнения произвольного движения твердого тела. Замена опорной точки во втором фундаментальном законе

Вычисление тензоров инерции некоторых тел (шар, цилиндр, конус).

1. Шар.

Центральный тензор инерции – шаровой:.

Складывая моменты инерции, получим

В качестве элемента массы возьмем массу шарового слоя толщиной:, где элементарный объем, а плотность.

Тогда и окончательно.

Рассмотрим частные случаи.

а) Шар (: б) Оболочка (:

2. Полый прямой круговой цилиндр.

Найдем сначала. Выделим двумя цилиндрическими поверхностями радиуса и трубку толщиной и от тройного интеграла перейдем к одинарному:

Z

dr

R

a

r

X

Y

Z

· C

A ·

r

R

Учитывая, что, найдем сумму

.

Разделив цилиндр на пластинки толщиной и массой, найдем

.

Итак,,

Рассмотрим частные случаи.

а) Сплошной цилиндр,

б) Оболочка ():,

в) Пластинка ():,

г) Стержень (бесконечно тонкий цилиндр) ():

,

3.Прямой круговой конус (радиус основания R, высота h, плотность).

Найдем.

Чтобы не вычислять тройной интеграл по x,y,z в декартовых координатах (или по, разобьем конус на пластинки толщиной, радиуса и моментом инерции,

Тогда. Далее найдем сумму

и, вычислив интеграл, получим

.

Моменты инерции относительно центральных осей вычисляются с помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера (AC=):

5.2.7. Дифференциальное уравнение вращения вокруг неподвижной оси. Физический маятник.

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Z.

A

• C

A

B

Z

Уравнение второго фундаментального закона имеет вид

, или

где точка А - любая точка на оси вращения,. - вектор угловой скорости.

Если нас интересует только угол поворота, достаточно найти одну лишь проекцию на ось Z, для чего умножим скалярно обе части уравнения на и внесем его в производную:

.

По определению, осевой момент инерции, причем это постоянная величина, а момент относительно оси Z. Таким образом, получили дифференциальное уравнение вращения вокруг неподвижной оси:

(5.29)

Если ось подвеса горизонтальна и внешними воздействиями являются сила тяжести и, разумеется, опорные воздействия, с которыми ось подвеса действует на тело, то тело называют физическим маятником. В этом случае уравнение (5.29) принимает вид нелинейного уравнения

,

которое может быть проинтегрировано либо численно, либо в так называемых эллиптических функциях. Уравнение малых колебаний, под которыми будут пониматься движения, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, получим, положив

, (5.30)

где обозначение квадрат собственной частоты.

Решение уравнения (5.30) имеет вид

где константы определяются из начальных условий.

Ясно, что измеряя собственную частоту (или период), можно экспериментально найти момент инерции.

Уравнения первого и второго законов полностью описывают трансляционное и вращательное движения твердого тела:

. (5.31)

а)

• C

•B

A

• C

б)

Рис.5.4

B

Второму уравнению можно придать более удобный для решения вид.

Кинетический момент относительно неподвижной точки А можем выразить через кинетический момент относительно какой – либо подвижной точки В:

.

Аналогично.

Подставляя эти выражения во второе уравнение (5.34), получим с учетом,

. (5.32)

В некоторых случаях уравнение (5.32) проще и удобнее применять.

1. В качестве подвижной точки можем взять не принадлежащую телу точку, например, точку касания поверхности катящегося (или скользящего) тела.

.В этом случае, поэтому уравнение (5.32) упростится:

,

и, кроме того, в уравнение не войдут неизвестные реакции, поскольку их момент относительно точки В равен нулю.

2. Если в качестве подвижной точки В взять центр масс, уравнение (5.32) примет вид

или, вспоминая что,

. (5.33)

Это уравнение полностью описывает вращательное движение и не отличается от уравнения, описывающего вращение вокруг неподвижной точки.

Таким образом, удобной в большинстве случаев системой уравнений, описывающих произвольное движение твердого тела является

(5.34)

Плоское движение.

Если тело совершает плоское движение, то., где единичный вектор, перпендикулярный плоскости движения.

X

Y

С Z

Первое уравнение в (5.34) проецируется на оси X и Y в плоскости движения, а второе скалярным умножением на проецируется на ось Z, проходящую через центр масс:

.

С учетом имеем

(5.35)

Дата добавления: 2014-01-04