Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Дифференциальные уравнения произвольного движения твердого тела. Замена опорной точки во втором фундаментальном законе


Вычисление тензоров инерции некоторых тел (шар, цилиндр, конус).

1. Шар.

Центральный тензор инерции – шаровой: .

Складывая моменты инерции, получим

 

В качестве элемента массы возьмем массу шарового слоя толщиной : , где элементарный объем , а плотность .

Тогда и окончательно .

Рассмотрим частные случаи.

а) Шар ( : б) Оболочка ( :

2. Полый прямой круговой цилиндр .

Найдем сначала .Выделим двумя цилиндрическими поверхностями радиуса и трубку толщиной и от тройного интеграла перейдем к одинарному:

 

Z
dr
R
a
r
X
Y
Z
· C
A ·
r
R

Учитывая, что , найдем сумму

.

Разделив цилиндр на пластинки толщиной и массой , найдем

.

Итак, ,

Рассмотрим частные случаи.

а) Сплошной цилиндр ,

б) Оболочка ( ): ,

в) Пластинка ( ): ,

г) Стержень (бесконечно тонкий цилиндр) ( ):

,

3.Прямой круговой конус (радиус основания R, высота h, плотность ).

Найдем .

Чтобы не вычислять тройной интеграл по x,y,z в декартовых координатах ( или по , разобьем конус на пластинки толщиной , радиуса и моментом инерции ,

Тогда . Далее найдем сумму

 

и, вычислив интеграл ,получим

.

Моменты инерции относительно центральных осей вычисляются с помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера (AC= ):

 

5.2.7. Дифференциальное уравнение вращения вокруг неподвижной оси. Физический маятник.

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Z .

 
 
 
A
• C
 
A
B
 
Z

Уравнение второго фундаментального закона имеет вид

, или

где точка А - любая точка на оси вращения, . - вектор угловой скорости.

Если нас интересует только угол поворота , достаточно найти одну лишь проекцию на ось Z, для чего умножим скалярно обе части уравнения на и внесем его в производную:

.

По определению, осевой момент инерции, причем это постоянная величина, а момент относительно оси Z. Таким образом, получили дифференциальное уравнение вращения вокруг неподвижной оси:



(5.29)

Если ось подвеса горизонтальна и внешними воздействиями являются сила тяжести и, разумеется, опорные воздействия, с которыми ось подвеса действует на тело, то тело называют физическим маятником. В этом случае уравнение (5.29) принимает вид нелинейного уравнения

,

которое может быть проинтегрировано либо численно, либо в так называемых эллиптических функциях. Уравнение малых колебаний, под которыми будут пониматься движения, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, получим, положив

, (5.30)

где обозначение квадрат собственной частоты.

Решение уравнения (5.30) имеет вид

где константы определяются из начальных условий .

Ясно, что измеряя собственную частоту (или период ), можно экспериментально найти момент инерции .

Уравнения первого и второго законов полностью описывают трансляционное и вращательное движения твердого тела:

. (5.31)

а)
 
• C
•B
 
A
 
 
 
• C
б)
Рис.5.4
B

Второму уравнению можно придать более удобный для решения вид.

 

Кинетический момент относительно неподвижной точки А можем выразить через кинетический момент относительно какой – либо подвижной точки В:

.

Аналогично .

Подставляя эти выражения во второе уравнение (5.34), получим с учетом ,

. (5.32)

В некоторых случаях уравнение (5.32) проще и удобнее применять.

1. В качестве подвижной точки можем взять не принадлежащую телу точку, например, точку касания поверхности катящегося (или скользящего) тела.

.В этом случае , поэтому уравнение (5.32) упростится:

,

и, кроме того, в уравнение не войдут неизвестные реакции, поскольку их момент относительно точки В равен нулю.

2. Если в качестве подвижной точки В взять центр масс, уравнение (5.32) примет вид

 

или, вспоминая что ,

. (5.33)

Это уравнение полностью описывает вращательное движение и не отличается от уравнения, описывающего вращение вокруг неподвижной точки.

Таким образом, удобной в большинстве случаев системой уравнений, описывающих произвольное движение твердого тела является

(5.34)

Плоское движение.

Если тело совершает плоское движение, то . , где единичный вектор, перпендикулярный плоскости движения.

X
Y
 
 
С Z
Первое уравнение в (5.34) проецируется на оси X и Y в плоскости движения, а второе скалярным умножением на проецируется на ось Z , проходящую через центр масс:

.

С учетом имеем

(5.35)

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Эллипсоид инерции | Динамические реакции оси вращающегося тела. Пример

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 302; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.006 сек.