Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Динамические реакции оси вращающегося тела. Пример


Пример 2. Качение шара по внутренней поверхности вертикального цилиндра.

Пример 1. Качение шара по вращающейся плоскости.

 
 
 
 
𝜴
 
• C
B

По вращающейся с угловой скоростью 𝜴 платформе катится шарик массы и радиуса .

Запишем уравнения динамики (5.34)

 

С учетом того, что тензор инерции шаровой , уравнения принимают вид

, (1)

, (2)

где горизонтальная составляющая реакции платформы.

Добавим к (1),(2) условие отсутствия проскальзывания в точке касания В:

(3)

Исключим из уравнений все неизвестные, оставив только .Подставим из первого уравнения во второе, умножим его векторно справа на и, раскрывая двойное векторное произведение, получим

.

Подставив в это уравнение найденное из (3) выражение , получим или, обозначив

 

Подобное уравнение уже встречалось в (5.1.2) и решение его проще всего записать с помощью тензора поворота (напомним формулу Пуассона ):

 

Таким образом, постоянный по величине вектор скорости «вращается» с постоянной угловой скоростью вокруг ; нетрудно понять, что это возможно, только если центр масс движется по окружности, радиус которой можно найти, если проинтегрировать и подставить начальные условия

 

 
 
 
 
 
 

Чтобы предотвратить проскальзывание, шарик массы m и радиуса катится с достаточно большой окружной скоростью. Кажется правдоподобным, что траектория будет иметь вид спирали увеличивающейся крутизны.

 

Скорость и ускорение центра масс шарика в цилиндрической системе координат

, ( ). (1)

Уравнения движения

, (2)

, (3)

где лежащая в касательной плоскости в точке касания составляющая реакции.

Условие отсутствия проскальзывания

, (в координатном виде ) (4)

дополним его производной

. (5)

Выразим из (2) , подставим его в (3) и найдем

.

Подставляя полученное выражение в (5), с учетом



 

получим

(6)

Умножая скалярно уравнение (6) на ,получим (проекция на равна нулю):

(7)

(8)

Из (7) следует немедленно , а в (8) величину

найдем через ее же производную:

Первое слагаемое в силу (3) равно нулю, а второе с учетом (4) равно , так что (константу можем принять равной нулю). Окончательно получим

,где обозначено

Решение этого уравнения имеет вид постоянные, определяемые из начальных условий) и показывает, что шарик совершает гармонические колебания по высоте (!). Игрокам в гольф и баскетболистам не так уж «не везет», когда шарик (мяч) выкатывается из лунки (из кольца).

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Z под действием момента . Поскольку нас интересуют только реакции, возникающие при вращении тела (динамические реакции) и которые, собственно, и принуждают тело совершать плоское движение, прочие воздействия не рассматриваются. Уравнения первого и второго законов имеют вид

(5.36)

Найдем проекции (5.39) на оси X,Y,Z, связанные с телом. Имеем

, , ,

,

 

,

 
 
 
 
 
 
 
C ·

(5.37)

Последнее уравнение – уравнение вращения вокруг неподвижной оси, третье уравнение содержит только сумму реакций, но не позволяет их найти. Первое, второе, четвертое и пятое уравнение – система, из которой определяются динамические реакции и из нее же, разумеется, можем найти условия, при которых они равны нулю

 

 

 

 

Так как движение произвольное, то выполнение этих равенств возможно только когда

- статическая уравновешенность и

динамическая уравновешенность,

т.е. динамические реакции равны нулю, если ось вращения является главной центральной.

Пример. Ось вращения диска составляет с перпендикуляром к плоскости диска угол . Диск статически уравновешен, т.е. центр масс лежит на оси вращения: . Масса диска , радиус , диск совершает 12000 , расстояние между подшипниками .

A
 
BA
 
C
 
 
 
 

Первые два уравнения системы (5.40) дают , а из четвертого и пятого находим

Центробежные моменты инерции найдем из теоремы Гюйгенса- Штейнера

, (1)

, где .

Из (1) имеем

,

Таким образом, ,

Для данных условий задачи и весьма незначительного угла получим

, что значительно превышает статическую реакцию 5 кГ.

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Дифференциальные уравнения произвольного движения твердого тела. Замена опорной точки во втором фундаментальном законе | Мощность, работа. Потенциальные воздействия

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 345; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:

  1. I. Затрудненный выброс крови из желудочков (например, стеноз аорты, клапанный стеноз a, pulmonalls и коарктация аорты)
  2. IV. Примеры расчетов потребностей в сырье по индивидуальным и среднегодовым нормам.
  3. LZ-алгоритмы распаковки данных. Пример 13.6
  4. LZ-алгоритмы распаковки данных. Примеры
  5. LZ77-алгоритм распаковки данных. Пример 12.4
  6. Tермодинамические диаграммы
  7. Б. Внутренняя политика Александра I. Вопрос о конституции. Усиление политической реакции
  8. Билет№5:Методологические основы менеджмента. Ситуационный, системный и процессный подход к принятию управленческих решений (привести примеры).
  9. Биотрансформация лекарств. Несинтетические и синтетические реакции метаболизма.
  10. В приведенном примере укажите тезис (если тезис явно не выражен, сформулируйте его), определите способ аргументации.
  11. В ст.131 ГК установлены основные положения о примерном перечне вещных прав, подлежащих регистрации, обязательности государственной регистрации и органе, ее осуществляющем.
  12. Вещества через термодинамические коэффициенты.

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.005 сек.