Мощность, работа. Потенциальные воздействия

Кинетическая энергия материальной точки и твердого тела. Теорема Кенига.

Третий фундаментальный закон механики (закон баланса энергии).

Кинетическая энергия материальной точки,

тела, состоящего из материальных точек, (1)

континуального тела. (2)

Для твердого тела. Подставим это выражение в (2):

=.

Второе слагаемое равно, а подынтегральное выражение в третьем преобразуем, чтобы вынести из интеграла постоянный множитель:

.

Имеем.

Таким образом,

(3)

Рассмотрим частные случаи.

а) Тело вращается вокруг неподвижной точки:

(4)

б) В качестве полюса взят центр масс:

(5)

Формула (5) представляет собой частный случай (для твердого тела) теоремы Кенига:

Кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс и энергии относительного движения относительно системы отсчета, движущейся поступательно со скоростью центра масс (для твердого тела относительное движение - вращение вокруг центра масс).

Для плоского движения и формулы (4), (5) примут вид:

вращение вокруг неподвижной оси (4а)

(5а)

где осевые моменты инерции постоянные величины.

Мощность силы, мощность момента.

Элементарная работа.

Символ означает, что элементарная работа не является в общем случае дифференциалом функции А ввиду произвольности сил и моментов. Для силы элементарная работа вычисляется по хорошо знакомой из курса физики формуле

, а вот для момента известная формула имеет место только для плоского движения, когда, поэтому определение мощности как работы в единицу времени при произвольном движении тела становится весьма затруднительным.

Найдем мощность сил и моментов, приложенных к твердому телу.

По определению. Подставив и, переставив сомножители в смешанном произведении, получим

. (6)

Ясно, что мощность (6) не зависит от выбора полюса А.

Потенциальные воздействия.

Существует довольно узкий класс сил и моментов, мощность которых равна полной производной по времени от некоторой функции положения P:

.

Такие воздействия называются потенциальными, а P - потенциальной энергией (знак (-) принято ставить для удобства).

Если рассматривается сила, то аргументом функции P является вектор положения точки приложения силы, т.е., а если момент, то аргументом являются параметры, задающие ориентацию, например, углы Эйлера, т.е. P=P(.

Для потенциальных сил и моментов элементарная работа является дифференциалом функции:; отсюда следует равносильное определение потенциальных воздействий: для них работа не зависит от пути перехода из первого положения во второе:

;

и, как следствие, работа по замкнутому контуру равна нулю:

Если вектор силы известен, то условия его потенциальности можем получить, приравнивая элементарную работу дифференциалу энергии:

,

где оператор Гамильтона (набла-оператор, градиент). Видим, что, т.е. и, поскольку смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования, для потенциальной силы должны выполняться равенства которые на языке дифференциальных операций векторного анализа равносильны равенству нулю ротора силы

Дата добавления: 2014-01-04