Устойчивость положения равновесия

Линеаризация уравнений движения вблизи положения равновесия.

Колебания системы с несколькими степенями свободы.

Поскольку линейные уравнения легко решать и исследовать, малые колебания являются самым разработанным отделом механики; даже во многих нелинейных задачах линейное приближение дает вполне удовлетворительный результат.

Движение тела (системы) будем описывать уравнениями Лагранжа

,

где - обобщенные координаты.

Положение (или положения) равновесия определяются либо из уравнений движения, в которых следует положить скорости и ускорения равными нулю, либо с помощью принципа возможных скоростей, который, как мы видели, является следствием уравнений Лагранжа.В том и другом случае положения равновесия определяются из системы .

Не ограничивая общности, будем считать для простоты, что обобщенные координаты в положении равновесия равны нулю (всегда можно «сдвинуть» координаты).

Кинетическая энергия является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей

, (s, k=1,…n).

Разложим в ряд Маклорена коэффициенты инерции и ограничимся лишь первыми членами , поскольку удержание прочих приводит к нелинейным уравнениям Лагранжа. С практической точки зрения это соответствует тому, что кинетическую энергию надо вычислять в момент, когда система проходит положения равновесия. Таким образом,

. (1)

Потенциальную энергию также разложим в ряд до членов второй степени включительно

 

В этом разложении линейные относительно координат слагаемые равны нулю, поскольку в положении равновесия равны нулю обобщенные силы , постоянное же слагаемое можем считать равным нулю « для красоты», т.к. P определена с точностью до константы. Обозначив , получим

(2)

Подставляя (1) и (2) в уравнения Лагранжа, получим систему

(3)

Если ввести

матрицы инерции и жесткости , то кинетическую (1) и потенциальную энергию(2) можно записать в виде квадратичных форм , а систему уравнений (3) в матричном виде

,

где - вектор- столбец обобщенных координат.

Определение: симметричная матрица В называется положительно определенной (или просто положительной), если порождаемая ею квадратичная форма положительно определена, то есть

Согласно этому определению, матрица инерции положительно определена ( , поскольку кинетическая энергия положительна при любых ненулевых скоростях.

 

Не обращаясь к традиционному языку математики «( » , скажем, что положение равновесия называется устойчивым по Ляпунову, если при достаточно малых начальных отклонениях и скоростях система не выйдет за пределы наперед заданной сколь угодно малой окрестности положения равновесия.

Теорема Лежен Дирихле об устойчивости.

Если в положении равновесия потенциальная энергия имеет строгий локальный минимум, то положение равновесия устойчиво по Ляпунову.

Кажется правдоподобным, что если в положении равновесия минимума P(x) нет, то положение равновесия неустойчиво, но это в общем случае не доказано; существует множество частных теорем, из которых приведем теорему Ляпунова:

Если в положении равновесия потенциальная энергия не имеет строгого локального минимума, причем это обстоятельство видно из разложения энергии в ряд, в котором сохранены только члены второго порядка, то положение равновесия неустойчиво.

Если потенциальная энергия имеет вид квадратичной формы , то в случае ее положительной определенности положение равновесия устойчиво; если же нет – неустойчиво. Напомним, что квадратичная форма называется положительно определенной, если . Ясно, что положительно определенная форма имеет в точке строгий локальный минимум и, в соответствии с теоремой Дирихле, положение равновесия устойчиво; в противном случае локального минимума нет и в соответствии с теоремой Ляпунова положение равновесия неустойчиво.

Из линейной алгебры известен критерий Сильвестра:

Необходимым и достаточным условием положительной определенности квадратичной формы является положительность главных диагональных миноров и определителя матрицы, составленной из ее коэффициентов (в данном случае матрицы жесткости )

.