Устойчивость положения равновесия

Линеаризация уравнений движения вблизи положения равновесия.

Колебания системы с несколькими степенями свободы.

Поскольку линейные уравнения легко решать и исследовать, малые колебания являются самым разработанным отделом механики; даже во многих нелинейных задачах линейное приближение дает вполне удовлетворительный результат.

Движение тела (системы) будем описывать уравнениями Лагранжа

,

где - обобщенные координаты.

Положение (или положения) равновесия определяются либо из уравнений движения, в которых следует положить скорости и ускорения равными нулю, либо с помощью принципа возможных скоростей, который, как мы видели, является следствием уравнений Лагранжа.В том и другом случае положения равновесия определяются из системы.

Не ограничивая общности, будем считать для простоты, что обобщенные координаты в положении равновесия равны нулю (всегда можно «сдвинуть» координаты).

Кинетическая энергия является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей

, (s, k=1,…n).

Разложим в ряд Маклорена коэффициенты инерции и ограничимся лишь первыми членами, поскольку удержание прочих приводит к нелинейным уравнениям Лагранжа. С практической точки зрения это соответствует тому, что кинетическую энергию надо вычислять в момент, когда система проходит положения равновесия. Таким образом,

. (1)

Потенциальную энергию также разложим в ряд до членов второй степени включительно

В этом разложении линейные относительно координат слагаемые равны нулю, поскольку в положении равновесия равны нулю обобщенные силы, постоянное же слагаемое можем считать равным нулю «для красоты», т.к. P определена с точностью до константы. Обозначив, получим

(2)

Подставляя (1) и (2) в уравнения Лагранжа, получим систему

(3)

Если ввести

матрицы инерции и жесткости, то кинетическую (1) и потенциальную энергию(2) можно записать в виде квадратичных форм, а систему уравнений (3) в матричном виде

,

где - вектор- столбец обобщенных координат.

Определение: симметричная матрица В называется положительно определенной (или просто положительной), если порождаемая ею квадратичная форма положительно определена, то есть

Согласно этому определению, матрица инерции положительно определена (, поскольку кинетическая энергия положительна при любых ненулевых скоростях.

Не обращаясь к традиционному языку математики «(», скажем, что положение равновесия называется устойчивым по Ляпунову, если при достаточно малых начальных отклонениях и скоростях система не выйдет за пределы наперед заданной сколь угодно малой окрестности положения равновесия.

Теорема Лежен Дирихле об устойчивости.

Если в положении равновесия потенциальная энергия имеет строгий локальный минимум, то положение равновесия устойчиво по Ляпунову.

Кажется правдоподобным, что если в положении равновесия минимума P(x) нет, то положение равновесия неустойчиво, но это в общем случае не доказано; существует множество частных теорем, из которых приведем теорему Ляпунова:

Если в положении равновесия потенциальная энергия не имеет строгого локального минимума, причем это обстоятельство видно из разложения энергии в ряд, в котором сохранены только члены второго порядка, то положение равновесия неустойчиво.

Если потенциальная энергия имеет вид квадратичной формы, то в случае ее положительной определенности положение равновесия устойчиво; если же нет – неустойчиво. Напомним, что квадратичная форма называется положительно определенной, если. Ясно, что положительно определенная форма имеет в точке строгий локальный минимум и, в соответствии с теоремой Дирихле, положение равновесия устойчиво; в противном случае локального минимума нет и в соответствии с теоремой Ляпунова положение равновесия неустойчиво.

Из линейной алгебры известен критерий Сильвестра:

Необходимым и достаточным условием положительной определенности квадратичной формы является положительность главных диагональных миноров и определителя матрицы, составленной из ее коэффициентов (в данном случае матрицы жесткости)

.

Дата добавления: 2014-01-04