Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Собственные частоты и формы малых колебаний.


Руководствуясь тем, что ожидаемое движение имеет колебательный характер, частное решение системы (3) (или (4) будем искать в виде

,. (5)

где вектор называется амплитудным вектором.

Подставляя (5) в систему (4), получим

, откуда

(6)

Чтобы однородная система (6) имела ненулевое решение , необходимо, чтобы определитель этой системы был равен нулю:

,или, раскрывая определитель по степеням получим так называемое частотное уравнение степени относительно

(7)

где, в частности, коэффициенты .

Стандартным в линейной алгебре способом, опирающимся на симметрию матриц , можно показать, что все корни частотного уравнения вещественны, и, более того, если матрица жесткости положительно определена (т.е. положение равновесия устойчивое), то корни положительные. В этом случае n корней (c учетом их кратности) называются собственными частотами.

Ортогональность и линейная независимость форм колебаний.

Подставив простую, т.е. кратности «один», собственную частоту в систему (6), получим (n-1) уравнений для n элементов амплитудного вектора , поскольку при равенстве нулю определителя одно уравнение является линейной комбинацией остальных; поэтому из системы мы можем найти только отношения амплитуд к первой, например, амплитуде:

. (8)

Амплитудный вектор (8) , элементами которого являются отношения амплитуд, называется собственной формой колебаний. Колебания, описываемые выражением (5) при подстановке в него собственных частот и форм , называются главными колебаниями.

Покажем, что собственные формы колебаний, соответствующие различным частотам, ортогональны « с весом» матрицы инерции А. Выпишем систему (6) для двух частот и

, (9)

.

Первую из систем (9) умножим слева на , а вторую на и вычтем:

 

Учитывая симметричность , получим:

 

откуда получаем ортогональность собственных форм « с весом А» или « в метрике А»: .

Заметим, что из ортогональности с весом из (9) следует и ортогональность с весом :

В случае частоты второй (для определенности) кратности равен нулю не только определитель системы (6), но и миноры порядка , т.е. имеется уравнений для элементов амплитудного вектора, поэтому он имеет вид

,

где - произвольное число. Это обстоятельство позволяет для частоты второй кратности построить две собственные формы и с числами и и найти из условия ортогональности .

Из ортогональности форм следует их линейная независимость, то есть равенство

 

возможно тогда и только тогда, когда все . Действительно, умножив эту сумму на матрицу слева и потом на , получим с учетом ортогональности только одно слагаемое

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Устойчивость положения равновесия | Случай кратных частот

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 322; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.009 сек.