Общее решение этой системы записывается в виде

Ядро и образ линейного оператора

Пусть А оператор из LBL’ где L – n-мерное пространство

Опр: Множество векторов xÎL таких что Aх=0 называется ядром оператора и обозначается KerA

Размерность ядра называется дифектом оператора

Лемма: разм ядра равна n-r где r– ранг матр оператора dim(KerA)=n-r

Док-во: е₁,…,е_n базис с L, A=(a_ij) матрица оператора в этом базисе rgA=r в координатах получ систему однородн Ур-ний

0= a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃,

0= a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃

0 = a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃.

Х=с₁х₁+с₂х₂+…+с_n-rх_n-r где х₁….х_n-r – ФСР следует что ФСР явл базисом ядра и размерностью ядра n-r

Опр: Множество векторов уÎL таких что Aх=у называется образом оператора и обозначается ImA

Размерность образа называется рангом оператора

Лемма: Размерность образа равна рангу матрицы оператора dim(ImA)=r

Док-во Пусть х =х₁ е₁ + х₂ е₂ +…+ х_n е _n тогда у=Ах=х₁Ае₁+…+х_nАe_n Из последнего равенства следует что образ есть линейная оболочка векторов

Ае₁, Ае₂, …. Ае_n

Т.к. по столбцам матрицы оператора стоят координаты этих векторов то dim(ImA)=r

Теорема: Сумма размерн ядра и образа равна размерности всего пространства dim(ImA)+ dim(kerA)=n

Док-во: dim(ImA)+ dim(kerA)=r+(n-r)=n

Опр: Суммой операторов А и В назыв опер С такой что Сх=Ах+Вх пишут А+В=С

Опр: Произв оператора А на a назыв опер С: Сх=aАх или С=aА

Теорема: Сумме и произв операт-ов отвечает сумма и произв их матриц. При умнож операт на число его матрица также умнаж на это число

Операции с операторами

А+В=В+А

А+(В+С)=(А+В)+С

А(ВС)=(АВ)С

(А+В)С=АС+ВС

С(А+В)=СА+СВ

В общем случае АВ¹ВА

Опр: Оператор А-1 назыв обратным к А если А^-1А=АА^-1=Е (Ех=х)

Теорема: Оператор А имеет обратный тода когда его матрица в некотором базисе не вырождена. Матрица обр оператора равна обратной матрице

Лекция 9

Дата добавления: 2013-12-12