Режимы осциллятора с трением

Дифференциальное уравнение осциллятора с трением

Осциллятор с трением. Режимы движения. Затухающие колебания и их характеристики.

В реальных осцилляторах есть трение, трение трансформирует энергию колебаний во внутреннюю энергию. При достаточно большом трении колебаний может и не быть.

1. Колебательный контур

; ;

2. Пружинный маятник

Пружинный маятник движется в некоторой среде, тогда на маятник будет действовать сила сопротивления, модуль которой .

; ;

В общем случае дифференциальное уравнение осциллятора с трением:

(1) , где - квадрат собственной частоты, - коэффициент затухания.

дифференциальное уравнение осциллятора с трением описывает собственную динамику осциллятора, у которого трение линейно зависит от скорости.

Характер движения осциллятора с трением. Если трение очень маленькое, то колебания должны быть, но их амплитуда должна падать. Если трение велико, то колебаний может не быть.

Решение (1) будем искать в виде x=Ae^gt.

Ae^gt (g²+2bg+)=0

g²+2bg+=0

g_1,2=

Возможны три ситуации, связанные с коэффициентами и , и они соответствуют трем возможным режимам осциллятора с трением:

1. Апериодический режим >

g₁<0, g₁<0

x(t)= A₁e^g1t+ A₂e^g2t= A₁e^()*t+ A₂e^()*t

Апериодический режим возникает при большом трении в системе.

2. Режим критического затухания.

b=

g₁=g₂=-b

x(t)=(A+Bt)e^-bt

Вид картины такой же.

В режиме критического затухания система наиболее быстро возвращается в положение равновесия среди апериодических режимов.

Коэффициент сопротивления r называется критическим коэффициентом затухания, b – коэффициент критического затухания, R- критическое сопротивление контура.

Найдем выражение для критического сопротивления:

b_кр= ; ;

3. Режим затухающих колебаний.

b< ; g_1,2=, где

x(t)=Re((t))= A₁e^-btcos(wt+j₀₁)+ A₂e^-btcos(wt+j₀₂)= A₀e^-btcos(wt+j₀)

A₀ – зависит от энергии.

j₀ – зависит от начального состояния системы.

Дата добавления: 2013-12-12