Путь при неравномерном движении

За малый промежуток времени Dt перемещение графически изображается в виде прямоугольника, высота которого равна некоторому значению средней скорости v (рис.2.8). Тогда для любого промежутка времени от 0 до t суммируют все эти элементарные площадки SDS, т.е. графически эта сумма представляет собой площадь фигуры ABCD (Sv_ср.×Dt). Чаще всего площадь фигуры дает нам также путь, пройденный при неравномерном движении (математически это записывается как предел).

.

Если v(t) = const, то движение равномерное,

v(t) ¹ const – то движение неравномерное.

2.5. Ускорение. Ускорение при равнопеременном и неравнопеременном прямолинейном движении.

При неравномерном движении необходимо знать закономерность, по которой скорость изменяется со временем. Для этого вводится величина, характеризующая быстроту изменения скорости со временем и называемая ускорением «».

Пусть материальная точка переместилась за малый промежуток времени Dt из точки А, где она имела скорость в точку В, где скорость (рис.2.9). Приращение скорости точки есть вектор , равный разности конечной и начальной скоростей: .

Отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, называется средним ускорением . Это понятие вводится для неравнопеременного движения.

Среднее ускорение направлено также как приращение скорости, т.е. под углом к траектории в сторону ее вогнутости.

В общем случае величина среднего ускорения может быть различной на различных участках траектории и зависеть от величины промежутка времени Dt, по которому проводится усреднение. В пределе при Dt ® 0 точка В будет стремиться к точке А и среднее ускорение по пути АВ превратится в мгновенное или истинное ускорение в точке А.

Поэтому . (2.2)

Итак, мгновенное ускорение движения в любой точке траектории есть вектор, направленный под углом к траектории в сторону ее вогнутости, а по величине равный пределу среднего ускорения при стремлении промежутка времени к нулю.

Из выше приведенных формул следует, что ускорение измеряется в м/с²; [а] = м/с².

По модулю величина ускорения равна . Т.е. величина ускорения определяется первой производной скорости v по времени или второй производной пути по времени.

Если рассматривать движение тела в пространстве, то вектор ускорения можно представить через его проекции на оси X, Y, Z, аналогично как это делали для вектора .

;

Замечание: Следует помнить, что ускорение характеризует не только изменение модуля скорости, но и изменение направления вектора скорости. Например, равномерное движение по окружности является ускоренным из-за изменения направления вектора скорости с течением времени, хотя модуль скорости остается неизменным.

Рассмотрим частный случай ускоренного движения.

Прямолинейное движение с постоянным ускорением называется равноускоренным (a = const). В этом случае мгновенное ускорение будет равно среднему ускорению за любой промежуток времени. И тогда

; (2.3)

В зависимости от поведения скорости со временем различают равноускоренное и «равнозамедленное» движения. Кавычки поставлены, чтобы подчеркнуть, что в любом случае движение происходит с постоянным ускорением.

1. Если а > 0, то движение равноускоренное. Из (2.3) следует, что v=v₀+ a (t - t₀) и при t₀ = 0

v=v₀+ a t

при a > 0 скорость v возрастает. Направления и совпадают.

2. Если a < 0, то движение равнозамедленное и скорость v уменьшается.

Зная зависимость v от t можно подсчитать путь, пройденный телом при равнопеременном движении (рис. 2.10).

Имеем v=v₀ + at, домножим на dt.

dS = v·dt = v₀·dt + a·t·dt.

Интегрируем слева от 0 до S, справа от 0 до t. Получаем, что

.

Тогда

. (2.4)

Данная формула верна, если за время движения знаки начальной скорости и ускорения совпадают. Наклон прямой v₀+at на рисунке 2.10 зависит от величины «а», чем «а» больше, тем больше угол наклона. «S» численно рано площади заштрихованной фигуры.

ЛЕКЦИЯ 2

Дата добавления: 2013-12-12