Основное уравнение динамики вращательного движения

Закон сохранения момента импульса.

ФОРМУЛИРОВКА: Момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Отметим, что момент импульса остается постоянным и для системы, подвергающейся внешним воздействиям, при условии, что суммарный момент внешних сил, действующих на тела системы, равен нулю.

Может случиться так, что результирующий момент внешних сил относительно точки «О» отличен от нуля , однако равна нулю составляющая вектора по некоторому направлению z. Тогда будет сохраняться составляющая момента импульса системы по оси z.

Рассмотрим систему материальных точек, каждая из которых может перемещаться, оставаясь в одной из плоскостей, проходящих через ось Z (рис. 4.15). Все плоскости могут вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью . Тангенциальная составляющая скорости i -ой точки может быть записана в виде: .

Тогда, учитывая, что

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: моментом импульса относительно оси Z называется составляющая по этой оси момента импульса относительно точки «О», лежащей на оси (рис. 4.16): , можно показать, что , где – составляющая радиус-вектора , перпендикулярная оси Z; – составляющая вектора , перпендикулярная к плоскости, проходящей через ось Z и точку «m».

Подставив значение для в формулу для получим выражение для момента импульса точки относительно оси Z:

.

Это можно записать, воспользовавшись свойством двойного векторного произведения и учтя, что векторы и взаимно перпендикулярны.

Просуммировав это выражение по всем точкам и вынося общий множитель за знак суммы (S), найдем для момента импульса системы относительно оси Z следующее выражение:

,

где – момент инерции системы материальных точек относительно оси Z.

Тогда . Учитывая, что , получаем

. (4.3)

Это основное уравнение динамики вращательного движения. По форме оно сходно с уравнением II-закона Ньютона: .

Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек с неизменными расстояниями между ними. Для такой системы момент инерции есть величина постоянная относительно фиксированной оси. Следовательно, для абсолютно твердого тела основное уравнение динамики вращательного движения примет вид:

, (4.4)

где – угловое ускорение тела;

– результирующий момент внешних сил, действующих на тело.

Сопоставив уравнения динамики вращательного движения с уравнениями динамики поступательного движения, легко заметить, что при вращательном движении роль силы играет момент силы, роль массы – момент инерции и т.д. (см. таблицу).

Поступательное движение	Вращательное движение
– сила	или – момент силы
m – масса	– момент инерции
– линейная скорость	– угловая скорость
– линейное ускорение	–угловое ускорение
– импульс	–момент импульса

Все приведенные выше формулы справедливы для случая, если ось вращения тела неподвижна.

Дата добавления: 2013-12-12