Извлечение корня из комплексного числа

Определение 7.7. Комплексное число называется корнем n -й степени из z, если z = z ₁ ⁿ.

Из определения следует, что. Так как аргумент комплексного числа определен не однозначно, можно получить n различных значений для аргумента z₁: , где φ₀ – одно из значений arg z, а k = 1, 2,…, n -1. Окончательно формулу, задающую все значения , можно записать в виде:

(7.3)

Пример. Число z = 16 можно представить в тригонометрической форме следующим образом: z = 16(cos0 + i sin0). Найдем все значения :

Показательная форма комплексного числа.

Введем еще одну форму записи комплексного числа. На множестве комплексных чисел существует связь между тригонометрическими и показательными функциями, задаваемая формулой Эйлера:

, (7.4)

справедливость которой будет доказана в дальнейшем. Используя эту формулу, можно получить из (7.1) еще один вид комплексного числа: (7.5)

Определение 7.8. Запись вида (7.5) называется показательной формой записи комплексного числа.

Представление (7.5) позволяет легко интерпретировать с геометрической точки зрения операции умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня, используя известные свойства показательной функции.

Лекция 8.

Дата добавления: 2013-12-12