Разложение многочлена в комплексной области на линейные множители

Многочлены и их корни. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на линейные множители в поле комплексных чисел. Простые и кратные корни многочлена. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Рациональные функции. Деление многочленов, выделение целой части рациональной функции. Правильные рациональные функции, их разложение на простейшие.

Рассмотрим в комплексной области многочлен, то есть функцию вида

, (8.1)

где - комплексные числа. Числа называются коэффициентами многочлена, а натуральное число n – его степенью.

Определение 8.1. Два многочлена P_n (z) и равны тогда и только тогда, когда m=n, a₀ = b₀, a₁ = b₁,…, a_n = b_n.

Определение 8.2. Число z₀ называется корнем многочлена (8.1), если P_n (z₀) = 0.

Теорема 8.1 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена P_n(z) на z – z₀ (z₀ – не обязательно корень многочлена) равен P(z₀).

Доказательство. Разделив P(z) на z – z₀, получим: P(z) = Q(z)(z – z₀) + r, где число r – остаток от деления, а Q(z) – многочлен степени, меньшей n. При подстановке в это равенство z = z₀ найдем, что r = P(z₀), что и требовалось доказать.

Теорема 8.2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен в комплексной области имеет корень (без доказательства).

Пусть P_n (z) – многочлен степени n, а z₁ – его корень. Тогда по теореме Безу P_n (z) можно представить в виде:

P_n (z) = (z – z₁) Q_n-1 (z),

где Q_n-1 – многочлен степени n – 1. Если при этом Q_n-1 (z₁) = 0, его вновь можно представить как (z – z₁)Q_n-2 (z), a P_n (z) = (z – z₁)Q_n-2 (z).

Определение 8.3. Натуральное число k₁ называется кратностью корня z₁ многочлена P_n (z), если этот многочлен делится на , но не делится на . Корень кратности 1 называется простым, а корень кратности, большей 1, - кратным.

Итак, если z₁ – корень P_n кратности k₁, то Из основной теоремы алгебры следует, что многочлен тоже имеет корень. Обозначим его z₂, а его кратность k₂. Тогда а , (8.2)

где Следовательно, в комплексной области всякий многочлен можно разложить на линейные множители.

Дата добавления: 2013-12-12