Производные высших порядков

Производные основных элементарных функций

Приведем без доказательства формулы производных основных элементарных функций:

1. Степенная функция: (xⁿ)` = nx^n-1.

2. Показательная функция: (a^x)` = a<sup>x</sup> ln a (в частности, (е<sup>x</sup>)` = е^x).

3. Логарифмическая функция: (в частности,
(ln x)` = 1/x).

4. Тригонометрические функции:

(sin х)` = cos x

(cos х)` = -sin x

(tg х)` = 1/cos²x

(ctg х)` = -1/sin²x

5. Обратные тригонометрические функции:

Можно доказать, что для дифференцирования степенно-показательной функции необходимо дважды использовать формулу для производной сложной функции, а именно, дифференцировать ее и как сложную степенную функцию, и как сложную показательную, и сложить результаты: (f(x)^j(x))` = j(x)*f(x)<sup>j(x)-1</sup>*f(x)` + f(x)^j(x)*ln f(x)*j(x)`.

Поскольку производная функции сама является функцией, она тоже может иметь производную. Понятие производной, которое было рассмотрено выше, относится к производной первого порядка.

Производной n-го порядка называется производная от производной
(n - 1)-го порядка. Например, f ``(x) = (f `(x))` - производная второго порядка (или вторая производная), f ```(x) = (f ``(x))` - производная третьего порядка (или третья производная) и т.д. Иногда для обозначения производных более высокого порядка используются или римские арабские цифры в скобках, например, f⁽⁵⁾(x) или f^(V)(x) для производной пятого порядка.

Физический смысл производных высших порядков определяется так же, как и для первой производной: каждая из них представляет собой скорость изменения производной предыдущего порядка. Например, вторая производная представляет собой скорость изменения первой, т.е. скорость скорости. Для прямолинейного движения она означает ускорение точки в момент времени.

Дата добавления: 2013-12-12