Смешанное произведение

Геометрический смысл векторного произведения

Поскольку , то значение длины векторного произведения совпадает с значением площади параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах. – площадь параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах.

– площадь треугольника, построенного на векторах .

Пример. Найти площадь треугольникапостроенного на векторах и , если ; ; . Решение.

Определение. Под с мешанным произведением векторов подразумевают число обозначаемое и получающееся в результате скалярного произведения вектора на векторное произведение .

Теорема (геометрический смысл смешанного произведения). Смешанное произведение трех некомпланарных векторов по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на сомножителях.

, причем - имеет знак «» если образуют правую тройка и «» если - левая тройка.

Доказательство.

– объем параллелепипеда, где – площадь основания, – высота параллелепипеда, - угол между вектором и вектором (рис. 6.2), тогда .

Рис. 6.2

Следствие. – объем пирамиды.

Дата добавления: 2013-12-11