Потенциальная энергия упруго деформированного стержня равна

R

R

Q

Существуют такие системы отсчета, в которых всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

R

S =∆r

V

Рекомендуемая литература

Средства обеспечения дисциплины

В качестве средств обеспечения дисциплины предполагается использование лаборатории механики, лаборатории лекционных демонстраций и класс вычислительной физики с программным обеспечением.

Основная литература:

1. Сивухин Д.В. Курс общей физики. Т.1. Механика. – М.: Наука, 1979.

2. Лаврова И.В. Курс физики. – М.: Просвещение, 1981.

3. Грабовский Р.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1980.

4. Архангельский М.М. Курс физики. Механика. – М.: Просвещение, 1975.

5. Александров Н.В., Яшкин А.Я. Курс общей физики. Механика. – М.: Просвещение, 1978.

6. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. – М.: Высшая школа, 1989; или Кн.1. – М.: Высшая школа, 1998.

Задачники:

1. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу. – М.: Наука, 1979 (другие годы издания).

2. Иродов И.Е.Задачник по общей физике. – М.: Наука, 1988.

3. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. – М.: Высшая школа, 1988.

Дополнительная литература:

1. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. Т.1-2. – М.: Мир, 1990.

2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1989.

3. Хайкин С.Э. Физические основы механики. – М.: Наука, 1979.

4. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. – М.: Высшая школа, 1986.

5. Гершензон Е.М., Малов Н.Н., Мансуров А.Н. Курс общей физики. Механика. – М.: Академия, 2001.

Лекция №1. Введение

1. Предмет физики, её связь с другими естественными науками

Физика – наука, изучающая наиболее общие свойства материи и формы её движения. Под материей подразумевается весь окружающий нас мир, включающий два известных нам вида материи – вещество (в твердом, жидком, газообразном состоянии и плазме) и поле (гравитационное, электромагнитное, поле ядерных сил), которые способны видоизменяться и превращаться друг в друга и описываются законами физики.

Неотъемлемым всеобщим свойством материи является движение, понимаемое в самом широком смысле, т.е. не только как механическое перемещение тел в пространстве, но и как изменение и развитие как таковое. Известны следующие виды физических форм движения: механические, атомно-молекулярные, гравитационные, электромагнитные, внутриатомные и внутриядерные процессы. Они являются общими потому, что содержатся во всех более сложных формах движения материи, изучаемых другими науками. Например, процессы жизнедеятельности организмов, изучаемых биологией, всегда сопровождаются механическими, электрическими, внутриатомными и другими физическими процессами. Таким образом, предмет исследований физики составляют общие закономерности явлений природы.

Физика – одна из основных общих естественных наук, в которых изучаются законы неживой природы. Связь физики с другими естественными науками выражается прежде всего в том, что, выявляя общие закономерности явлений природы, её макро- и микромира, физика фундаментальна по отношению к ним. Физика позволяет создавать приборы и вырабатывать методы исследования, необходимые для развития других наук. Например, в развитии биологии большое значение имели микроскоп, в астрономии – телескоп, в химии – спектральный анализ и др. Все естественные науки широко и плодотворно применяют метод меченых атомов, электронную аппаратуру и другие физические приборы, а также различные методы физических исследований. Справедлива, конечно, и обратная связь: развитие других естественных наук ставит перед физикой новые задачи и способствует её прогрессу и совершенствованию. Только на стыке физики и биологии возникли ряд новых смежных научных направлений, таких как биофизика, биомеханика – наука, изучающая законы движения биологических систем, биоэнергетика – наука, занимающаяся вопросами механизма генерации и переноса энергии в живых объектах, радиобиология – наука, изучающая действие внешних физических полей и излучений на живые организмы, современная генетика, рассматривающая явления наследственности на молекулярном уровне. В последние годы особенно пристальное внимание уделяется изучению биоэлектрических явлений, обусловливающих возникновение биоэлектрических потенциалов, а также агрофизике – науке о влиянии водовоздушных, тепловых и световых режимов на развитие растений и животных и возможности их регулирования и создания фитотронов (станций искусственного климата). Возникли другие смежные науки, такие как астрофизика, физическая химия, электрофизика и др.

Развитие математики и физики также очень тесно связано друг с другом. Без знания математики нельзя изучать физику, так как все закономерности в физике выражаются посредством чисел. Только с помощью математического аппарата можно разобраться и проанализировать сложные закономерности, которые имеют место в физических явлениях. Разработка математических методов всегда преследует, в том или ином виде, цель практическую – дать средство анализа закономерностей природы. Поэтому изучение физики тесно связано с изучением математики даже в той части физики, которую называют общей и экспериментальной, так как здесь исследователь определяет количественные изменения различных величин.

2. Методы физических исследований

Методом физических исследований является материалистическая диалектика, рассматривающая все явления окружающего нас мира в их взаимосвязи и взаимодействии, в их развитии и изменении. Поэтому рассматриваемые ниже методы физических исследований применимы и в других естественных науках.

Всякое физическое исследование начинается с наблюдения, т.е. с изучения физических явлений в естественной, природной обстановке. Затем на основании размышлений и логических обобщений высказывается рабочая гипотеза – научное предположение, объясняющее эти явления. Гипотеза проверяется экспериментом, т.е. изучением явлений путем их воспроизведения в искусственных, лабораторных условиях. Гипотеза, подтвержденная экспериментом, становится научной теорией. Физическая теория представляет собой систему основных идей, обобщающих опытные данные и отражающих объективные закономерности природы. Физическая теория дает объяснение целой области явлений природы с единой точки зрения. Теория в дальнейшем подвергается неоднократной проверке практикой, которая вносит в теорию многочисленные дополнения и уточнения.

В связи с изложенным целесообразно сделать одно замечание о связи теории и эксперимента в физике. Теория играет исключительно важную роль. Без нее современная физика немыслима. Однако необходимо правильно представлять себе истинную роль теории в физике. Чистая теория в основном основывается на математике, а математика имеет дело с абстрактными объектами и понятиями, подчиняющимися определенной системе аксиом. Единственное требование, предъявляемое в чистой математике к ее понятиям и аксиомам, сводится к их логической непротиворечивости. Все свои результаты чистая математика получает из этих аксиом путем логических рассуждений, основанных на правилах формальной логики. Содержание этих результатов, очевидно, не может выйти за пределы логических связей между различными объектами и понятиями чистой математики. В этом смысле чистая математика является логически замкнутой дисциплиной. Такая замкнутость и логическая согласованность придают чистой математике, а, следовательно, и теории эстетическую привлекательность и доставляют чувство глубокого удовлетворения всякому уму.

Однако нужно заметить, что строго замкнутая сама в себе теория оторвана от реальной действительности и не может быть использована в других науках и практической деятельности человека. Чтобы теория стала мощным средством при физических исследованиях, необходимо установить связи между абстрактными математическими объектами и понятиями – с одной стороны – и реальными объектами и явлениями природы – с другой. Математические понятия и объекты должны появляться не как чисто логические категории, а как абстракции каких-то реальных объектов или процессов природы. Так, точка является абстракцией физического тела достаточно малых размеров, прямая линия – абстракцией достаточно тонкого твердого стержня или светового пучка в однородной среде. Вопрос о справедливости математики сводится к справедливости ее аксиом. Справедливость же самих аксиом может быть установлена опытным и только опытным путем.

Правда, опыт с математическими объектами нельзя осуществить в чистом виде, поскольку эти объекты являются идеализациями и не встречаются в природе. Всякий опыт выполняется с реальными телами. Математическую строгость надо понимать в смысле логической согласованности ее выводов, но не в смысле обоснования математических аксиом.

Одной математической строгости недостаточно для физики, как и для всякой другой опытной науки, имеющей дело с реальными объектами и явлениями природы. Всякое теоретическое исследование, выполненное математически строго, никогда не может считаться и физически строгим. Во-первых, такие исследования всегда основываются на определенных законах, справедливость которых в конце концов доказывается опытным путем, а опыты и физические измерения неизбежно сопровождаются ошибками, т.е. выполняются с определенной точностью. Вне пределов этой точности физический закон может оказаться не верным. Во-вторых, всякий реальный физический объект характеризуется бесконечным разнообразием свойств. Учесть все эти свойства невозможно не только потому, что большинство из них нам просто неизвестно, но и потому, что это практически не осуществимо. При построении теории физика заменяет реальные объекты их идеализированными моделями, приблизительно правильно передающими не все свойства реальных объектов, а только те из них, которые существенны в рассматриваемом круге вопросов. Какие свойства реальных объектов существенны, а какие не играют заметной роли – на этот вопрос в конце концов может ответить только опыт, которому принадлежит решающее слово в вопросе о правильности всякой физической теории и пределах ее применимости. Если физический закон применен вне области, где он справедлив, а идеализированная модель правильно передает не все свойства реальных объектов, существенные для рассматриваемого круга явлений, то возникающие вследствие этого пороки теории, понятно, не могут быть исправлены никакой строгостью математических рассуждений и расчетов.

Последнее замечание имеет и практическую ценность. Конечно, после того как идеализированная модель построена, не будет ошибкой производить все дальнейшие расчеты математически абсолютно точно, хотя при этом и использовались физические законы, верные только приближенно. Однако сплошь и рядом такие расчеты очень громоздки и даже практически не осуществимы из-за их сложности. Между тем точность уже обесценена ошибками физических законов и несовершенствами идеализированной модели, положенной в основу расчета. Поэтому можно и нужно перейти к приближенным расчетам. Такие расчеты столь же хороши, что и «точные», если их ошибки не превосходят ошибок, обусловленных неточностью применяемых физических законов и несовершенствами идеализированных моделей.

3. Роль модельных представлений в физике

Моделировани е – один из основных методов познания, который заключается в построении моделей реально существующих объектов, замене реального объекта его подходящей моделью и последующего исследования построенной модели.

Под моделью (от латинского слова modulus – мера, образец) объекта или явления в физике мы будем понимать некий другой объект, реализованный в рамках той или иной знаковой системы. Этот объект:

- сопоставляется реально существующему природному объекту;

- подобен исходному объекту, т.е. адекватно отражает свойства исходного объекта;

- строится с определенной целью, заранее определяемой субъектом моделирования;

- отражает лишь некоторые свойства исходного объекта, признанные субъектом моделирования существенными;

- создается для получения информации об исходном объекте, необходимой для решения определенной задачи.

Для одного физического явления может быть несколько моделей или даже несколько семейств моделей. В таком случае эти модели должны взаимно однозначно соответствовать (изоморфизм моделей) или частично односторонне соответствовать одна модель другой (гомоморфизм).

В науке, где опыт является первичным источником знания, роль моделей важна, так как без модели нет теории. Для получения знания недостаточно проведения опытов, нужно также изучить теорию, уметь работать с моделями. Компьютерный эксперимент имеет дело именно с моделями физических процессов. Основное применение компьютерного эксперимента в образовании – демонстрации и лабораторные работы. Компьютерная лабораторная работа представляет собой вычислительный эксперимент, требующий активной деятельности студента. Такая работа не может в полной мере познакомить студентов с реальными приборами, но остальные функции лабораторной работы она выполняет. Компьютерная модель обладает также демонстрационной наглядностью, позволяет студентам «увидеть невидимое» – образование интерференционной картины с летящими фотонами, релаксацию кристаллической решетки вблизи дефектов и многое другое, чего не увидишь в реальном эксперименте.

Компьютерные лабораторные работы создаются там, где нужно проникнуть в строение вещества, проанализировать важные модели там, где условия экстремальны и т.п.

Компьютерный эксперимент представляет собой новую методику изучения физики, сохраняя при этом большинство дидактических черт реального эксперимента. Он расширяет круг опытов, проводимых студентами, не сужает применение обычного эксперимента, а дополняет его.

Компьютерный эксперимент, как и натурный, обеспечивает фундаментальную базовую подготовку по курсу общей физики.

Модельные демонстрации, модельные лабораторные работы, модельные конструкторы – это динамические иллюстрации, входящие в интерактивные модели. Все классы моделей могут отображать внешний вид и поведение системы, числовую информацию о ней, графики, иллюстрирующие взаимосвязи величин, а также визуализировать глубинные, скрытые в реальном мире от глаз и приборов процессы и даже не существующие в реальности объекты и понятия. Отличие различных классов моделей состоит в мере предоставляемой свободы управления и модернизации модели.

Простейшей моделью тел, движение которых изучает классическая механика, является материальная точка Тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь, называется материальной точкой. Материальных точек в природе не существует. Материальная точка есть абстракция, идеализированный образ реально существующих тел. Можно или нельзя то или иное тело при изучении какого-либо движения принять за материальную точку – это зависит не столько от самого тела, сколько от характера движения, а также от содержания вопросов, на которые мы хотим получить ответ. Абсолютные размеры тела при этом не играют роли. Важны относительные размеры, т.е. отношения размеров тела к некоторым расстояниям, характерным для рассматриваемого движения. Например, при вычислении траектории, по которой Земля движется вокруг Солнца, Землю можно рассматривать как материальную точку. Поэтому достаточно рассмотреть движение только одной точки, например центра Земли, и считать, что все вещество Земли как бы сосредоточено в этой геометрической точке. Такая идеализация сильно упрощает задачу об орбитальном движении Земли, сохраняя, однако, все существенные черты этого движения. При рассмотрении же движения тел по поверхности Земли она уже не является материальной точкой. Кроме того, сравнивать можно не только линейные размеры тел, но и другие физические величины (например, давление, скорость, период и т.д.).

Любое тело, размерами которого пренебречь нельзя, можно считать как совокупность материальных точек.

Под воздействием тел друг на друга тела могут деформироваться, т.е. изменять свою форму и размеры. Поэтому в механике вводится еще одна модель – абсолютно твердое тело. Абсолютно твердым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между точками (или точнее между двумя частицами) этого тела остается постоянным.

Понятия материальной точки, абсолютно твердого тела, идеальной жидкости и идеального газа и др. – абстрактные, но их введение позволяет наглядно и проще исследовать свойства соответствующих тел и облегчает решение практических задач.

4. Физические величины, их измерение и оценка точности
и достоверности полученных результатов

Физика принадлежит к классу точных наук, где количественное определение происходящих изменений играет важную роль. В физических исследованиях определяются изменения различных физических величин, таких, например, как скорость, длина, сила и т.д. Физические величины – это свойства тела или характеристики процесса, изменения которых можно определить количественно посредством измерений, т.е. посредством сравнения данной величины с определенной величиной того же рода, принятой за единицу.

Точное и правильное измерение физических величин во время наблюдений и опытов составляет существенную часть всякого научного исследования в физике.

Под точностью измерений понимается их качество, отражающее близость результатов к измеряемой величине.

Если общая относительная погрешность измерений, включающая и систематическую, и случайную составляющие У, то количественно точность принимается равной . Точность, как и относительная погрешность – величина безразмерная.

Часто стараются произвести измерения с наибольшей достижимой точностью, т.е. сделать погрешность по возможности малой. Однако следует иметь в виду, что чем точнее мы хотим измерить какую-либо величину, тем труднее это сделать. Поэтому не следует требовать от измерений большей точности, чем это необходимо для решения поставленной задачи. Для изготовления книжной полки длину досок вполне достаточно измерять не точнее, чем до 0,5 – 1 см, т.е. с погрешностью около 1 %, для производства некоторых деталей шарикоподшипников допустима погрешность не более 0,001 мм, или около 0,01 %, а при измерении длин волн спектральных линий иногда величина погрешности не должна превышать 10^-11 см, или около 10^-5 %.

Очень часто повышение точности измерений позволяет выявить новые закономерности. Действительно, всякий закон, устанавливающий количественную связь между физическими величинами, выводится в результате опыта, основой которого служат измерения. Он может считаться верным лишь с той степенью точности, с какой выполнены измерения, положенные в его основу. Так, например, существует закон сохранения вещества, по которому сумма масс веществ, вступающих в химическую реакцию, равна массе продуктов реакции. Однако при химической реакции поглощается или выделяется энергия. Поэтому в соответствии с теорией относительности масса продуктов реакции несколько отличается от суммы реагирующих масс. При сгорании угля это различие составляет 1 г на 3000 т угля. Чтобы это заметить, нужно произвести взвешивание с относительной погрешностью не более . Следовательно, лишь в указанных пределах точности () справедлив закон сохранения массы при реакции горения. Научившись взвешивать с такой точностью, мы сумели бы непосредственно обнаружить это изменение массы. Сейчас оно установлено только косвенным путем, так как нужной точности взвешивания мы не достигли.

В качестве другого примера можно указать, что повышение точности измерений плотности воды привело в 1982 г. к открытию тяжелого изотопа водорода – дейтерия, ничтожное содержание которого в обычной воде немного увеличивает ее плотность.

Наиболее важным примером является закон об изменении массы вещества при движении с большой скоростью: , где – масса покоящегося тела, – масса движущегося тела со скоростью , – скорость света. В силу малости ко времени создания теории относительности всегда было равно , так как недостаточная точность измерений не позволяла их различать. По мере увеличения точности измерений и перехода к большим скоростям такое изменение массы удалось наблюдать. Сейчас последнее соотношение имеет не только теоретический интерес, но и используется в инженерных расчетах. Из сказанного видно, как иногда важно стремиться к максимальному увеличению точности.

Понятие физической величины может утратить смысл, если к ее измерению предъявить неоправданно высокое требование точности. Так, например, не совсем ясно, о чем идет речь, когда ставиться задача измерения длины твердого стержня с точностью до размеров электрона или даже атома. Принципиально неограниченная точность измерения длин имеет смысл для абстрактных прямолинейных отрезков геометрии, а не для реальных тел, имеющих атомистическую структуру.

5. Системы единиц физических величин

Для каждой физической величины единицу измерения можно выбирать совершенно произвольно, независимо от других величин. Однако на практике в целях удобства поступают иначе. Произвольно выбирают единицы измерения только для нескольких (семи) физических величин. Эти величины и их единицы измерения называют основными. Единицы измерения всех остальных физических величин устанавливают на основании законов (формул), связывающих эти величины с основными. Такие величины и их единицы измерения называют производными.

Совокупность всех основных и производных единиц измерения физических величин называется системой единиц.

В нашей стране утверждена Международная система единиц – СИ (система интернациональная). Оновными физическими величинами СИ являются длина, масса, время, термодинамическая температура Кельвина, сила электрического тока, сила света и количество вещества. За основные единицы приняты соответственно следующие семь: метр (м), килограмм (кг), секунда (с), кельвин (К), ампер (А), кандела (кд) и моль (моль).

Ранее наряду с СИ применялась физическая система (СГС), основными единицами которой являются сантиметр (см), грамм (г) и секунда (с).

Единицы измерения любой производной физической величины можно выразить через основные (пользуясь формулами, связывающими производную величину с основными). Иначе говоря, любую физическую величину можно выразить в основных единицах измерения. Выражение физической величины в основных единицах измерения называется размерностью физической величины. Поясним это на примере работы А.

Единицей измерения работы является джоуль. Для определения размерности работы выразим работу через основные физические величины – путь , массу и время : ,где – сила, а – ускорение. Подставив теперь в правую часть полученного равенства вместо основных физических величин их единицы измерения в СИ, получим размерность работы в этой системе: . Результат определения размерности физической величины принято записывать условным равенством, в котором эта величина заключается в квадратные скобки. Применительно к нашему примеру это равенство записывается так: .

Размерности обеих частей физических величин должны быть одинаковыми. Это положение позволяет проверять правильность любых физических формул, в частности формул, получаемых при решении задач. Проверим, например, формулу пути равномерно ускоренного движения: , где начальная скорость, а – ускорение:

; ; .

Кроме того, размерность помогает глубже уяснить физический смысл формул и посредством размерностей можно даже выводить некоторые физические формулы с точностью безразмерного коэффициента.

Контрольные вопросы

1. В чем заключается фундаментальность физики?

2. Приведите примеры, свидетельствующие о связи физики с другими естественными науками и техникой.

3. В чем заключается суть физических исследований? Перечислите методы физических исследований и дополните их примерами.

4. В чем заключается сочетание экспериментальных и теоретических методов в познании окружающей среды?

5. Каким требованиям должны отвечать физические модели?

6. Что называется материальной точкой? Почему в механике вводят такую модель?

7. Какое значение имеет точность измерения физической величины?

8. Какие системы единиц измерения физических величин Вы знаете? Какова связь между ними?

Лекция №2. Кинематика материальной точки
при прямолинейном движении

Механика – исторически первый раздел физики, так как изучение остальных разделов физики невозможно без знания законов механики. Определения многих величин в других разделах, появившихся позже, являются обобщением механических величин. Например, закон Кулона в курсе электричества является обобщением закона всемирного тяготения.

Механика рассматривает простейшую форму движения – механическое движение, т.е. перемещение тел (или их частей) в пространстве относительно друг друга.

Механика подразделяется на кинематику, динамику и статику.

В кинематике рассматривают перемещение тел в зависимости от времени, не интересуясь причинами, которые вызывают движение или изменяют его. Динамика изучает законы движения тел под действием сил, его вызывающих. В статике изучаются условия равновесия тел. Таким образом, статика является, по существу, частным случаем динамики, так как из динамики нам известны законы движения тел, а из статики можно вывести и законы покоя, равновесия тел. Однако в связи с большой практической значимостью статика выделяется в самостоятельный раздел механики.

1. Кинематические законы движения материальной точки

Рассмотрим механическое движение тел. Механическим движением тела называется изменение его положения в пространстве с течением времени. Механическое движение всегда относительно. Например, шарик, лежащий на столе, может быть описан расстоянием от него до стен или пола. При этом он относительно стола покоится. Но положение шарика можно определить и относительно Солнца или звезд. Ясно, что положение шарика будут определять другие расстояния. Эти расстояния будут меняться с течением времени, так как шарик вместе со столом вращается вокруг земной оси и обращается вокруг Солнца. Таким образом, положение тела может быть определено только по отношению к каким-либо другим телам. Эти тела называются телами отсчета или системой отсчета. Механическое движение есть изменение положения тела относительно тел отсчета. Никаких принципиальных преимуществ одной системы отсчета по сравнению с другой в кинематике указать нельзя. Все системы отсчета кинематически эквивалентны.

Для математического описания движения тел относительно выбранной системы отсчета задают систему координат, связанную с системой отсчета. Выбор системы координат определяется условием механической задачи. Например, если движение тела происходит вокруг тела, имеющего цилиндрическую или сферическую геометрию, удобно выбрать соответственно цилиндрическую или сферическую систему координат. Если движение происходит по плоскости и имеется центр симметрии, удобно использовать полярную систему координат. В общем случае наиболее удобна декартовая прямоугольная система координат, так как в ней все три координаты равноправны.

Кроме того, для описания движения необходимо отсчитывать время.

Как и всякая физическая величина, время количественно характеризуется некоторыми числами. Задача прежде всего состоит в том, чтобы выяснить, с помощью каких принципиальных измерительных операций эти числа могут быть получены. Тем самым устанавливается и точный смысл самих этих чисел.

Под временем в количественном смысле этого слова мы будем понимать показания каких-то часов. Точнее, надо говорить не о самом времени, а о промежутке времени между двумя событиями или моментами времени. Он характеризуется разностью показаний часов в рассматриваемые моменты времени. Когда говорят просто о времени, не указывая оба момента, являющиеся границами рассматриваемого промежутка времени, то предполагают, что один из этих моментов фиксирован и условно принят за начальный. От него и ведется отсчет времени. Часы здесь понимаются в более широком смысле слова, чем в обыденной жизни. Под часами понимают любое тело или систему тел, в которых совершается периодический процесс, служащий для измерения времени. Примерами таких процессов могут служить колебание – маятника с постоянной амплитудой, вращение Земли вокруг собственной оси относительно Солнца или звезд, колебания атома в кристаллической решетке, колебания электромагнитного поля, представляемого достаточно узкой спектральной линией, и пр. Так, если между двумя событиями Земля при вращении относительно звезд сделала один оборот, то говорят, что промежуток времени между этими двумя событиями составляет звездные сутки. Если при этом она совершила 10 оборотов, то соответствующий промежуток времени будет 10 звездных суток, и т.д. Если в течение звездных суток маятник совершил приблизительно 86 164 колебания, то говорят, что период одного колебания составляет одну секунду, и т.д. От звездных суток следует отличать солнечные сутки. Так называется промежуток времени, в течение которого Земля делает один оборот при вращении вокруг собственной оси относительно Солнца. Ввиду того, что Земля движется вокруг Солнца не по круговой, а по эллиптической орбите, это ее движение не совсем равномерно. Это значит, что солнечные сутки изо дня в день несколько изменяются в течение года. Поэтому при измерении времени пользуются так называемыми средними солнечными сутками. Они составляют 24 часа = 24 • 60 = 1440 минут = 1440 - 60 = 86 400 секунд.

К часам предъявляют требование, чтобы они шли «равномерно». Но что значит «часы идут равномерно»? Говорят, это означает, что периодический процесс, служащий для отсчета времени, должен повторяться через строго одинаковые промежутки времени. Однако это не есть ответ на вопрос, так как убедиться в одинаковости следующих друг за другом промежутков времени можно только в том случае, когда мы уже располагаем равномерно идущими часами. Выйти из этого логического круга можно только путем определения, так как никакого априорного представления о равномерном течении времени не существует. Надо условиться считать какие-то часы по определению равномерно идущими. Такие часы должны рассматриваться как эталонные или основные часы, по которым должны градуироваться все остальные.

В принципе любые часы могут быть приняты за эталонные. Однако так поступать не целесообразно. Эталонные часы должны быть достаточно «хорошими» и прежде всего обладать высокой воспроизводимостью. Это означает, что если изготовить с возможной тщательностью много «одинаковых» эталонных часов, то они с большой точностью должны идти одинаково, независимо от того, изготовлены ли они одновременно, или между моментами их изготовления прошло длительное время. Например, песочные часы дают несравненно худшую воспроизводимость, чем маятниковые часы.

Не так давно за основные или эталонные часы принимались «астрономические часы». Долгое время основными часами служила Земля, вращающаяся вокруг собственной оси относительно звезд, а основной единицей времени – сутки. Недавно вместо осевого вращения Земли стали пользоваться ее орбитальным движением вокруг Солнца, принимая за основную единицу времени тропический год, т.е. промежуток времени между двумя последовательными прохождениями центра Солнца через точку весеннего равноденствия. При измерении времени таким путем достигалась лучшая воспроизводимость. Но еще лучшая воспроизводимость была достигнута после изобретения кварцевых, молекулярных и атомных часов.

Все эти часы представляют довольно сложные радиотехнические устройства. Здесь нет необходимости останавливаться на принципах действия и деталях устройства таких часов. Достаточно заметить, что роль маятника или балансира, регулирующих ход часов, выполняют в кварцевых часах колебания кристаллической решетки кварца, в молекулярных часах – колебания атомов в молекулах, в атомных часах – колебания электромагнитного поля в узких спектральных линиях атомов некоторых изотопов химических элементов, находящихся в точно определенных и строго контролируемых внешних условиях. Особой стабильностью обладают последние из отмеченных колебаний. Поэтому период именно таких колебаний в настоящее время и принимается в качестве основной единицы времени, с помощью которой воспроизводится секунда. Конкретно, секунда – это промежуток времени, в течение которого совершается 9 192 631 770 колебаний электромагнитного излучения, соответствующего переходу между двумя определенными сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133 в отсутствие внешних полей.

С помощью кварцевых, молекулярных и атомных часов было показано, что Земля вокруг своей оси вращается «неравномерно».

Воспользуемся для описания движения точки декартовой прямоугольной системой координат, начало которой (точка О) связано с какой-либо системой отсчета (на рисунке обозначение осей ) должно соответствовать «правой тройке».

Рис.2.1.

Положение точки А в данный момент времени по отношению к этой системе координат характеризуется тремя координатами х, у и z или радиусом-вектором , проведенным из начала системы координат в данную точку (рис.2.1). Если точка движется, то каждому последующему моменту времени будут соответствовать новые значения координат х, у и z:

(2.1)

Уравнения (2.1) называют скалярными кинематическими уравнениями движения или уравнениями движения материальной точки в параметрическом виде, где время служит в качестве параметра.Они определяют движение материальной точки координатным способом.

Координаты х, у и z являются проекциями радиуса-вектора на координатные оси, а потому:

, (2.2)

где координатные орты, т.е. единичные векторы, направленные вдоль осей координат х, у и z.

В любой момент времени длина радиуса-вектора определяется из выражения: .

Зависимость (2.3)

есть векторное кинематическое уравнение движения материальной точки.

Каждую из приведенных формул (2.1) и (2.3) называют также кинематическим законом д вижения материальной точки. Для полного описания движения точки достаточно знать кинематические законы движения.

2. Скорость и ускорение при прямолинейном движении

Линию, которую описывает материальная точка при своем движении в пространстве, называют траекторией. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным. Исключив из (2.4) или (2.7) время, можно определить уравнение траектории.

Расстояние, пройденное по траектории, называется путем. Обозначается как . Путь всегда выражается положительным числом. Поэтому пути, пройденные за отдельные промежутки времени, в течение которых материальная точка не изменяет направления своего движения, складываются арифметически.

Отрезок прямой, проведенный из начального положения материальной точки в конечное, называется перемещением. Перемещение обозначается как или . Кроме числового значения перемещение характеризуется также и направлением. Следовательно, перемещение – векторная величина. Поэтому перемещения складываются геометрически.

Пусть материальная точка движется вдоль прямой линии. Примем эту прямую за координатную ось Х, поместив начало координат О в какой-то произвольной ее точке. Положение материальной точки в рассматриваемом случае определяется одной координатой:

(2.4)

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и длина пути равна модулю перемещения, т.е. .

Пусть в какой-то фиксированный момент времени материальная точка находится в положении . В этот момент времени ее координата равна . В более поздний момент времени материальная точка переместится в положение с координатой. За время материальная точка проходит путь . Он считается положительным, если перемещение совершается вправо, и отрицательным, если перемещение совершается влево. Отношение пройденного пути к промежутку времени называется средней скоростью материальной точки за время . Таким образом, по определению средняя скорость равна

(2.5)

Такое определение средней скорости имеет смысл для любых как угодно малых значений , но отличных от нуля.

Вообще, средняя скорость зависит не только от , но и от . Теперь, оставляя момент времени неизменным, промежуток времени будем брать все меньше и меньше, устремляя его к нулю. Тогда к нулю будет стремиться и пройденный путь . Как показывает опыт, отношение при этом будет стремиться к вполне определенному пределу, который может зависеть только от , но уже не будет зависеть от . Этот предел называется истинной или мгновенной скоростью материальной точки в момент времени :

(2.6)

В математике предел, определяемый формулой (2.6), называется производной функции по аргументу . Таким образом, по определению производной следует, что истинная или мгновенная скорость материальной точки есть производная координаты по времени, или производная пройденного пути s по времени:

(2.7)

Если за равные, сколь угодно малые промежутки времени материальная точка проходит одинаковые пути, движение материальной точки называется равномерным. Разделив путь s на время , за который он пройден, получим величину

, (2.8)

которую в обыденной жизни называют скоростью материальной точки. Она в данном случае совпадает с мгновенной скоростью.

Если движение неравномерное, величина, получаемая делением s на время , дает среднее значение скорости за промежуток времени :

(2.9)

Скорость материальной точки, вообще говоря, является функцией времени: .

Зная мгновенную скорость, можно вычислить путь, пройденный материальной точкой от момента времени до момента по формуле

(2.10)

С учетом данного выражения можно получить формулу для средней скорости:

(2.11)

Производная скорости по времени называется ускорением материальной точки. Ускорение мы обозначим через а. Таким образом, по определению ускорения

, (2.12)

или

(2.13)

Производная (2.12) называется также второй производной координаты x или пути s по времени и обозначается символами

(2.14)

В общем случае ускорение является функцией времени .

При равноускоренном движении .

В существовании производных координаты по времени убеждаемся опытным путем, а не путем логических рассуждений.

Контрольные вопросы

1. Что называется механическим движением? Перечислите свойства механического движения.

2. Что такое система отсчета?

3. Как выбрать систему координат?

4. Как определить точное время?

5. Что такое траектория? В чем отличие уравнения траектории от уравнения движения?

6. Что такое перемещение? Всегда ли модуль перемещения равен отрезку пути, пройденного точкой?

7. Дайте определение средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости и мгновенного ускорения.

8. Можно ли получить выражения для мгновенной скорости и мгновенного ускорения из кинематических уравнений движения?

9. Выясните физический смысл формулы (2.10), определяющей путь.

10. Выясните физический смысл средней скорости?

11. Начертите графики пути и скорости равномерного движения.

12. Начертите графики пути, скорости и ускорения материальной точки при равноускоренном движении.

13. Используя выражения (2.7) и (2.14), получите зависимости пути и изменения координаты от времени.

Лекция №3. Кинематика материальной точки
при криволинейном движении

1. Скорость материальной точки при криволинейном движении

Понятия скорости и ускорения естественным образом обобщаются на случай движения материальной точки по криволинейной траектории.

Пусть при своем движении материальная точка, занимавшая положение А в момент времени , через некоторое время оказалась в положении В.

Z

B

A

r ₁

r₂

О y

X

Рис.3.1.

Выберем декартовую систему координат. Пусть моменту времени соответствует радиус-вектор , а моменту времени - , тогда за промежуток времени тело получит перемещение

(3.1)

Отношение перемещения к промежутку времени , за который это перемещение произошло, называется средней скоростью за промежуток времени от t до :

(3.2)

Величина вектора средней скорости показывает, как быстро (в среднем) происходит перемещение точки, а его направление определяет, в какую сторону происходит перемещение.

Однако знание перемещения и средней скорости не дает достоверной информации о характере движения и виде траектории. Более детальное описание движения мы получим, если разделим путь на ряд последовательных перемещений. При уменьшении этих перемещений будет уменьшаться и величина промежутка времени, следовательно, отношение (3.2) будет стремиться к определенному пределу. Скоростью (точнее мгновенной скоростью) материальной точки в данной точке траектории в данный момент времени называется предел отношения (3.2) при :

(3.3)

Из этого определения следует, что:

- скорость есть векторная величина;

- скорость в каждой точке траектории направлена по касательной к ней в ту сторону, куда движется точка; заметим, чтопри равномерном движении скорость, изменяясь как угодно по направлению, остается постоянной по модулю;

Рис.3.2.

-
скорость представляет собой первую производную перемещения по времени;

- скорость является первой производной радиус-вектора по времени;

- величина скорости равна первой производной пути по времени;

- вектор скорости можно представить в виде

, (3.4)

или ; (3.5)

- составляющие вектора скорости по координатным осям равны:

, , , (3.6)

т.е. скорости движения проекций точки вдоль координатных осей равны проекциям вектора скорости на соответствующие оси;

- величина скорости равна

; (3.7)

- для нахождения закона движения по известной зависимости вектора скорости от времени необходимо интегрировать уравнения (3.3). Например, если известна скорость вдоль оси Ох, то закон движения вдоль этой оси имеет вид:

(3.8)

где – координата точки в начальный момент времени.

Если движение равномерное, т.е. , то в силу выражения (3.8)

(3.9)

2. Ускорение материальной точки при криволинейном движении

В общем случае (и чаще всего) при движении материальной точки скорость меняется как по величине, так и по направлению. Пусть в момент времени материальная точка двигалась со скоростью , а при – скоростью . Перенесем начало вектора скорости из точки В в точку А, сохраняя величину и направление вектора . Тогда приращение скорости (рис.3.3).

Δ υ_τ

υ ₁

A

Δv

Δ S

B

Δυ_n υ₂

υ₂

Рис. 3.3.

Среднее ускорение на отрезке траектории между А и В:

(3.10)

Величина вектора среднего ускорения показывает, как быстро (в среднем) происходит изменение скорости точки, а направление его совпадает с направлением вектора изменения скорости, т.е. направлено под углом к траектории в сторону её вогнутости.

Однако знание перемещения и средней скорости не дает достоверной информации о характере движения в данной точке пространства. Поэтому нужно уменьшить промежуток времени. При его уменьшении будет уменьшаться и величина вектора приращения скорости, следовательно, отношение (3.10) будет стремиться к определенному пределу. Ускорением (точнее мгновенным ускорением) материальной точки в данной точке траектории в данный момент времени называется предел отношения ( 3.10 ) при :

(3.11)

Из этого определения следует, что:

- ускорение есть векторная величина;

- ускорение направлено под углом к траектории в сторону её вогнутости;

- ускорение представляет собой первую производную вектора скорости по времени;

- ускорение представляет собой вторую производную радиус-вектора по времени; это следует из формул (3.11) и (3.3);

- вектор ускорения можно представить в виде

, (3.12)

, (3.13)

или ; (3.14)

- составляющие вектора скорости по координатным осям равны:

, , ;(3.15)

- величина ускорения равна ; (3.16)

- для нахождения закона движения необходимо найти проекцию ускорения на оси координат по известным зависимостям проекций вектора скорости от времени, а затем интегрировать левую половину уравнений (3.15);

- направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора скорости только в случае ускоренного (или замедленного) прямолинейного движения.

Закон движения материальной точки находится из решения уравнений (3.15). Для примера рассмотрим равноускоренное прямолинейное движение, т.е. , где изменяется только скорость: , где – единичный вектор скорости.

Из этого выражения следует, что в случае увеличения со временем скорости (т.е. ), ускорение направлено так же, как скорость, а модуль ускорения равен . Если же скорость со временем уменьшается (т.е. ), направление ускорения противоположно направлению скорости, а модуль ускорения равен .

Пусть движение происходит равноускоренно вдоль оси Ох, т.е. движение равноускоренное и прямолинейное. Тогда из первого уравнения (3.15) имеем:

Рассмотрим подробнее, как меняется скорость при криволинейном движении. Пусть материальная точка за некоторый промежуток времени перемещается из положения А в положение В с изменением скорости от до . Перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с точкой А. Соединим концы векторов и . Тогда приращение векторов скорости равно . Отложим на векторе вектор, равный вектору . Следовательно, вектор можно рассматривать как сумму двух составляющих: как показано на рисунке, обозначим их и , т.е. . Тогда среднее ускорение равно .

Используя (3.11), из последнего выражения получим:

, (3.17)

где и – соответственно нормальное и тангенциальное ускорения. Причем в пределе направления и практически совпадают, следовательно, вектор направлен так же, как и вектор