Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть дана плоская кривая АВ, уравнение которой , где (рис.3). Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена стремится к нулю. Покажем, что если функция и ее производная непрерывны на отрезке , то кривая АВ имеет длину, равную . Применим способ №1. Для чего разобьем отрезок на n частей , каждой точке соответствуют точки , на кривой АВ. Проведем хорды , …длины которых обозначим соответственно через ∆L_1, ∆L₂…∆L_n. Получим ломаную линию M₀M₁…M_n, длина которой равна . Длину хорды (или звена ломаной) найдем по теореме Пифагора из треугольника с катетами ∆x_i и ∆y_i , где , . По теореме Лагранжа о конечном приращении функции . Поэтому , а длина ломаной линии M₀M₁…M_n равна (1).

Длина l кривой АВ по определению равна . Заметим, что при также и (и, следовательно, ). Функция непрерывна на отрезке , так как по условию непрерывна функция . Следовательно, существует предел интегральной суммы, когда . Таким образом, или (2).

Если уравнение кривой задано в параметрической форме , где x(t) и y(t) – непрерывные функции с непрерывными производными и , , то длина l находится по формуле: . Это соотношение получается из (2) путем подстановки , , .

Пример: Найти длину окружности радиуса R.

Если уравнение окружности записать в параметрической форме , то .

Дата добавления: 2013-12-12