Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Метод вариации произвольных постоянных

Структура общего решения ЛНДУ второго порядка.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ)

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка

(20)

Где - заданные непрерывные на (a,b) функции,уравнение левая часть которого совпадает с левой частью нашего уравнения называется соответствующим ему однородным уравнением.

Теорема: Общим решением уравнения (20) (y) является сумма его произвольного частного решения y* и общего решения соответствующего однородного уравнения т.е. . Доказательство этой теоремы опустим.

 

Рассмотрим ЛНДУ (20).Его общим решением, согласно только, что приведенной теоремы является соотношение . Чаcтное решение y* уравнения (20) можно найти,если известно общее решение соответствующего однородного уравнения методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) состоящий в следующем: пусть - общее решение однородного уравнения.Заменим в общем решении постоянные и неизвестными функциями и и подберем их так, чтобы функция была решением уравнения (20).Найдем производную

Подберем функции и так, чтобы , (21), тогда

, а .

Подставляя выражения для y*,и в уравнение (20) получим

 

Или

Поскольку и - решение соответствующего однородного уравнения, то выражения в квадратных скобках равны нулю, и поэтому

(22)

Таким образом, функция y* будет частным решением уравнения (20) если и

удовлетворяют системе уравнений (21) и (22).

 

(23)

Определитель системы ,так как это определитель для фундаментальной системы частных решений и однородного уравнения.Поэтому система (23) должна иметь единственное решение и , где и - некоторые функции от x. Интегрируя эти функции находим и , а затем, в соответствии с формулой для у* составляем частное решение уравнения (20).

 

Пример: ;

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Имеем

Следовательно, .Теперь найдем частное решение у* исходного уравнения.Оно, как говорилось выше, ищется в виде .Для нахождения и составим систему уравнений

Решаем ее

;


Запишем частное решение данного уравнения .Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

.

При нахождении частных решений ЛНДУ может оказаться полезной следующая теорема:

Теорема: Если правая часть уравнения (20) представляет собой сумму двух функций , а и - частные решения уравнений и соответственно, то функция является частным решением данного уравнения.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Лекция 13. 2. Решение ЛОДУ n –го порядка с постоянными коэффициентами. | Лекция 14
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2013-12-12; Просмотров: 626; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.016 сек.