Метод вариации произвольных постоянных

Структура общего решения ЛНДУ второго порядка.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ)

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка

(20)

Где - заданные непрерывные на (a,b) функции,уравнение левая часть которого совпадает с левой частью нашего уравнения называется соответствующим ему однородным уравнением.

Теорема: Общим решением уравнения (20) (y) является сумма его произвольного частного решения y* и общего решения соответствующего однородного уравнения т.е. . Доказательство этой теоремы опустим.

Рассмотрим ЛНДУ (20).Его общим решением, согласно только, что приведенной теоремы является соотношение . Чаcтное решение y* уравнения (20) можно найти,если известно общее решение соответствующего однородного уравнения методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) состоящий в следующем: пусть - общее решение однородного уравнения.Заменим в общем решении постоянные и неизвестными функциями и и подберем их так, чтобы функция была решением уравнения (20).Найдем производную

Подберем функции и так, чтобы , (21), тогда

, а .

Подставляя выражения для y*,и в уравнение (20) получим

Или

Поскольку и - решение соответствующего однородного уравнения, то выражения в квадратных скобках равны нулю, и поэтому

(22)

Таким образом, функция y* будет частным решением уравнения (20) если и

удовлетворяют системе уравнений (21) и (22).

(23)

Определитель системы ,так как это определитель для фундаментальной системы частных решений и однородного уравнения.Поэтому система (23) должна иметь единственное решение и , где и - некоторые функции от x. Интегрируя эти функции находим и , а затем, в соответствии с формулой для у* составляем частное решение уравнения (20).

Пример: ;

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Имеем

Следовательно, .Теперь найдем частное решение у* исходного уравнения.Оно, как говорилось выше, ищется в виде .Для нахождения и составим систему уравнений

Решаем ее

;

Запишем частное решение данного уравнения .Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

.

При нахождении частных решений ЛНДУ может оказаться полезной следующая теорема:

Теорема: Если правая часть уравнения (20) представляет собой сумму двух функций , а и - частные решения уравнений и соответственно, то функция является частным решением данного уравнения.

Дата добавления: 2013-12-12