Вращение твердого тела

Давление в жидкости, текущей по горизонтальной трубе переменного сечения, больше в тех сечениях потока, в которых скорость ее движения меньше, и наоборот, давление меньше в тех сечениях, в которых скорость больше.

Рисунок 1.22.2. Измерение давления в потоке жидкости с помощью манометров. υ₁ < υ₂ < υ₃; h ₁ > h ₂ > h ₃

Модель. Течение идеальной жидкости

Если сечение потока жидкости достаточно велико, то уравнение Бернулли следует применять к линиям тока, т. е. линиям, вдоль которых перемещаются частицы жидкости при стационарном течении. Например, при истечении идеальной несжимаемой жидкости из отверстия в боковой стенке или дне широкого сосуда линии тока начинаются вблизи свободной поверхности жидкости и проходят через отверстие (рис. 1.22.3).

Рисунок 1.22.3. Истечение жидкости из широкого сосуда

Поскольку скорость жидкости вблизи поверхности в широком сосуде пренебрежимо мала, то уравнение Бернулли принимает вид:

где p ₀ – атмосферное давление, h – перепад высоты вдоль линии тока. Таким образом,

Это выражение для скорости истечения называют формулой Торричелли. Скорость истечения идеальной жидкости из отверстия в сосуде такая же, как и при свободном падении тела с высоты h без начальной скорости.

В отличие от жидкостей, газы могут сильно изменять свой объем. Расчеты показывают, что сжимаемостью газов можно пренебречь, если наибольшие скорости в потоке малы по сравнению со скоростью звука в этом газе. Таким образом, уравнение Бернулли можно применять к достаточно широкому классу задач аэродинамики.

Одной из таких задач является изучение сил, действующих на крыло самолета. Строгое теоретическое решение этой задачи чрезвычайно сложно, и обычно для исследования сил применяются экспериментальные методы. Уравнение Бернулли позволяет дать лишь качественное объяснение возникновению подъемной силы крыла. На рис. 1.22.4 изображены линии тока воздуха при обтекании крыла самолета. Из-за специального профиля крыла и наличия угла атаки, т. е. угла наклона крыла по отношению к набегающему потоку воздуха, скорость воздушного потока над крылом оказывается больше, чем под крылом. Поэтому на рис. 1.22.4 линии тока над крылом располагаются ближе друг к другу, чем под крылом. Из уравнения Бернулли следует, что давление в нижней части крыла будет больше, чем в верхней; в результате появляется сила действующая на крыло. Вертикальная составляющая этой силы называется подъемной силой. Подъемная сила позволяет скомпенсировать силу тяжести, действующую на самолет, и тем самым она обеспечивает возможность полета тяжелых летательных аппаратов в воздухе. Горизонтальная составляющая представляет собой силу сопротивления среды.

Рисунок 1.22.4. Линии тока при обтекании крыла самолета и возникновение подъемной силы. α – угол атаки

Теория подъемной силы крыла самолета была создана Н. Е. Жуковским. Он показал, что при обтекании крыла существенную роль играют силы вязкого трения в поверхностном слое. В результате их действия возникает круговое движение (циркуляция) воздуха вокруг крыла (зеленые стрелки на рис. 1.22.4). В верхней части крыла скорость циркулирующего воздуха складывается со скоростью набегающего потока, в нижней части эти скорости направлены в противоположные стороны. Это и приводит к возникновению разности давлений и появлению подъемной силы.

Циркуляция воздуха, обусловленная силами вязкого трения, возникает и вокруг вращающегося тела (например, цилиндра). При вращении цилиндр увлекает прилегающие слои воздуха, вызывая его циркуляцию. Если такой цилиндр установить в набегающем потоке воздуха, то возникнет сила бокового давления, аналогичная подъемной силе крыла самолета. Это явление называется эффектом Магнуса. Рис. 1.22.5 иллюстрирует обтекание вращающегося цилиндра набегающим потоком. Эффект Магнуса проявляется, например, при полете закрученного мяча при игре в теннис или футбол.

Рисунок 1.22.5. Обтекание вращающегося цилиндра набегающим потоком воздуха

Итак, во многих явлениях аэродинамики существенную роль играют силы вязкого трения. Они приводят к возникновению циркулирующих потоков воздуха вокруг крыла самолета или вокруг вращающегося тела, к появлению силы сопротивления среды и т. д. Уравнение Бернулли не учитывает сил трения. Его вывод основан на законе сохранения механической энергии при течении жидкости или газа. Поэтому с помощью уравнения Бернулли нельзя дать исчерпывающего объяснения явлений, в которых проявляются силы трения. В этих случаях можно руководствоваться только качественными соображениями – чем больше скорость, тем меньше давление в потоке газа.

Особенно заметно проявляются силы вязкого трения при течении жидкостей. У некоторых жидкостей вязкость настолько велика, что применение уравнение Бернулли может привести к качественно неверным результатам. Например, при истечении вязкой жидкости через отверстие в стенке сосуда ее скорость может быть в десятки раз меньше рассчитанной по формуле Торричелли. При движении сферического тела в идеальной жидкости оно не должно испытывать лобового сопротивления. Если же такое тело движется в вязкой жидкости, то возникает сила сопротивления, модуль которой пропорционален скорости υ и радиусу сферы r (закон Стокса)

F _сопр ~ υ · r.

Коэффициент пропорциональности в этой формуле зависит от свойств жидкости.

Поэтому, если тяжелый шарик бросить в высокий сосуд, наполненный вязкой жидкостью (например, глицерином), то через некоторое время скорость шарика достигнет установившегося значения, которое не будет изменяться при дальнейшем движении шарика. При движении с установившейся скоростью силы, действующие на шарик (сила тяжести выталкивающая сила и сила сопротивления среды ), оказываются скомпенсированными, и их равнодействующая равна нулю.

Для кинематического описания вращения твердого тела удобно использовать угловые величины:угловое перемещение Δφ, угловую скорость ω

и угловое ускорение ε

В этих формулах углы выражаются в радианах. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси все его точки движутся с одинаковыми угловыми скоростями и одинаковыми угловыми ускорениями. За положительное направление вращения обычно принимают направление против часовой стрелки.

Рисунок 1.23.1. Вращение диска относительно оси, проходящей через его центр O

При малых угловых перемещениях Δφ модуль вектора линейного перемещения некоторого элемента массы Δ m вращающегося твердого тела выражается соотношением:

Δ s = r Δφ,

где r – модуль радиус-вектора (рис. 1.23.1). Отсюда следует связь между модулями линейной и угловой скоростей:

υ = r ω,

и между модулями линейного и углового ускорения:

a = a _τ = r ε.

Векторы и направлены по касательной к окружности радиуса r. Следует вспомнить, что при движении тела по окружности возникает также нормальное или центростремительное ускорение, модуль которого есть

Разобьем вращающееся тело на малые элементы Δ m_i. Расстояния до оси вращения обозначим через r_i, модули линейных скоростей – через υ _i. Тогда кинетическую энергию вращающегося тела можно записать в виде:

Физическая величина зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения. Она называется моментом инерции I тела относительно данной оси:

В пределе при Δ m → 0 эта сумма переходит в интеграл. Единица измерения момента инерции в СИ – килограмм-метр в квадрате (кг∙м²). Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде

Эта формула очень похожа на выражение для кинетической энергии поступательно движущегося тела только теперь вместо массы m в формулу входит момент инерции I, а вместо линейной скорости υ – угловая скорость ω.

Момент инерции в динамике вращательного движения играет ту же роль, что и масса тела в динамике поступательного движения. Но есть и принципиальная разница. Если масса – внутреннее свойство данного тела, не зависящее от его движения, то момент инерции тела зависит от того, вокруг какой оси оно вращается. Для разных осей вращения моменты инерции одного и того же тела различны.

Во многих задачах рассматривается случай, когда ось вращения твердого тела проходит через его центр массы. Положение x_C, y_C центра масс для простого случая системы из двух частиц с массами m ₁ и m ₂, расположенными в плоскости XY в точках с координатами x ₁, y ₁ и x ₂, y ₂(рис. 1.23.2), определяется выражениями:

Рисунок 1.23.2. Центр масс C системы из двух частиц

В векторной форме это соотношение принимает вид:

Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор центра масс определяется выражением

Для сплошного тела суммы в выражении для заменяются интегралами. Легко видеть, что в однородном поле тяготения центр масс совпадает с центром тяжести. Если в однородном поле тяготения твердое тело сложной формы подвесить за центр масс, то оно будет находиться в безразличном состоянии равновесия. Поэтому положение центра масс тела сложной формы можно практически определить путем последовательного подвешивания его за несколько точек и отмечая по отвесу вертикальные линии (рис. 1.23.3).

Рисунок 1.23.3. Определение положения центра масс C тела сложной формы. A ₁, A ₂, A ₃ точки подвеса

Равнодействующая сил тяжести в однородном поле тяготения приложена к центру масс тела. Если тело подвешено за центр масс, то оно находится в состоянии безразличного равновесия (см. §1.14).

Любое движение твердого тела можно представить как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью центра масс тела и вращения относительно оси, проходящей через центр масс. Примером может служить колесо, которое катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности (рис. 1.23.4). При качении колеса все его точки движутся в плоскостях, параллельных плоскости рисунка. Такое движение называется плоским.

При плоском движении кинетическая энергия движущегося твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, проходящей через центр масс тела и перпендикулярной плоскостям, в которых движутся все точки тела:

где m – полная масса тела, I_C – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 1.23.4. Качение колеса как сумма поступательного движения со скоростью и вращения с угловой скоростью относительно оси O, проходящей через центр масс

В механике доказывается теорема о движении центра масс: под действием внешних сил центр масс любого тела или системы взаимодействующих тел движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы.

Иллюстрацией этого утверждения может служить рис. 1.23.5, на котором изображено движение тела под действием силы тяжести. Центр масс тела движется по параболической траектории как материальная точка, в то время как все другие точки движутся по более сложным траекториям.

Рисунок 1.23.5. Движение твердого тела под действием силы тяжести

Если твердое тело вращается относительно некоторой неподвижной оси, то его момент инерции I можно выразить через момент инерции I_C этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.

Рисунок 1.23.6. К доказательству теоремы о параллельном переносе оси вращения

Рассмотрим сечение твердого тела произвольной формы, изображенное на рис. 1.23.6. Выберем координатную систему XY с началом координат O в центре масс C тела. Пусть одна из осей вращения проходит через центр масс C, а другая через произвольную точку P, расположенную на расстоянии d от начала координат. Обе оси перпендикулярны плоскости чертежа. Пусть Δ m_i – некоторый малый элемент массы твердого тела. По определению момента инерции:

Выражение для I_P можно переписать в виде:

Поскольку начало координат совпадает с центром масс C, последние два члена обращаются в нуль. Это следует из определения центра масс. Следовательно,

I_P = I_C + md ²,

где m – полная масса тела. Этот результат называют теоремой Штейнера (теоремой о параллельном переносе оси вращения).

Модель. Момент инерции

На рис. 1.23.7 изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 1.23.7. Моменты инерции I_C некоторых однородных твердых тел

Второй закон Ньютона может быть обобщен на случай вращения твердого тела относительно неподвижной оси. На рис. 1.23.8 изображено некоторое твердое тело, вращающееся относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку O. Выделим произвольный малый элемент массы Δ m_i. На него действуют внешние и внутренние силы. Равнодействующая всех сил есть Ее можно разложить на две составляющие: касательную составляющую и радиальную Радиальная составляющая создает центростремительное ускорение a_n.

Рисунок 1.23.8. Касательная и радиальная составляющие силы действующей на элемент Δ m_i твердого тела

Касательная составляющая вызывает тангенциальное ускорение массы Δ m_i. Второй закон Ньютона, записанный в скалярной форме, дает

Δ m_ia_{i τ} = F_{i τ} = F_i sin θ или Δ m_ir_i ε = F_i sin θ,

где – угловое ускорение всех точек твердого тела.

Если обе части написанного выше уравнения умножить на r_i, то мы получим:

Здесь – плечо силы – момент силы.

Теперь нужно аналогичные соотношения записать для всех элементов массы Δ m_i вращающегося твердого тела, а затем просуммировать левые и правые части. Это дает:

Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на различные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех внешних сил и суммы моментов всех внутренних сил.

Но сумма моментов всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона равна нулю, поэтому в правой части остается только сумма моментов всех внешних сил, которые мы будем обозначать через M. В итоге:

I ε = M.

Это и есть основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Угловое ускорение ε и момент сил M в этом уравнении являются величинами алгебраическими. Обычно за положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки.

Возможна и векторная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения, при которой величины , , определяются как векторы, направленные по оси вращения.

При изучении поступательного движения тел вводится понятие импульса тела (см. §1.16). Аналогично, при изучении вращательного движения вводится понятие момента импульса.

Моментом импульса вращающегося тела называют физическую величину, равную произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения. Момент импульса обозначается буквой L:

L = I ω.

Поскольку уравнение вращательного движения можно представить в виде:

Окончательно будем иметь:

Это уравнение, полученное здесь для случая, когда I = const, справедливо и в общем случае, когда момент инерции тела изменяется в процессе движения.

Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L = I ω относительно данной оси сохраняется:

Δ L = 0, если M = 0.

Следовательно,

L = I ω = const.

Это и есть закон сохранения момента импульса. Иллюстрацией этого закона может служить неупругое вращательное столкновение двух дисков, насажанных на общую ось (рис. 1.23.9).

Рисунок 1.23.9. Неупругое вращательное столкновение двух дисков. Закон сохранения момента импульса: I ₁ω₁ = (I ₁ + I ₂)ω

Закон сохранения момента импульса справедлив для любой замкнутой системы тел. Он выполняется, например, при движении планет по эллиптическим орбитам вокруг Солнца (второй закон Кеплера).

Уравнение вращательного движения тела можно записывать не только относительно неподвижной или равномерно движущейся оси, но и относительно оси, движущейся с ускорением.

Основное уравнение динамики вращательного движения не изменяет своего вида и в случае ускоренно движущихся осей при условии, что ось вращения проходит через центр массы тела и что ее направление в пространстве остается неизменным. Примером может служить качение тела (обруч, цилиндр, шар) по наклонной плоскости с трением (рис. 1.23.10).

Рисунок 1.23.10. Качение симметричного тела по наклонной плоскости

Ось вращения O проходит через центр масс тела. Моменты силы тяжести и силы реакции относительно оси O равны нулю. Момент M создает только сила трения: M = F _тр R.

Уравнение вращательного движения:

где ε – угловое ускорение катящегося тела, a – линейное ускорение его центра масс, I_C – момент инерции относительно оси O, проходящей через центр масс.

Второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс записывается в виде:

ma = mg sin α – F _тр.

Исключая из этих уравнений F _тр, получим окончательно:

Из этого выражения видно, что быстрее будет скатываться с наклонной плоскости тело, обладающее меньшим моментом инерции. Например, у шара а у сплошного однородного цилиндра Следовательно, шар будет скатываться быстрее цилиндра.

Дата добавления: 2013-12-12